Bài 2 trang 88 sgk đại số 10

Bài 2 trang 88 sgk đại số 10

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm...

Bài 2. Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a) (x^2+ sqrt{x+8}leq -3;)

b) (sqrt{1+2(x-3)^{2}}+sqrt{5-4x+x^{2}}< frac{3}{2};)

c) (sqrt{1+x^{2}}-sqrt{7+x^{2}}> 1.)

Giải

a) (x^2+ sqrt{x+8}leq -3)

Gọi (D) là điều kiện xác định của biểu thức vế trái (D = [- 8; +∞)). Vế trái dương với mọi (x ∈ D) trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi (x ∈ D). Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) (sqrt{1+2(x-3)^{2}}+sqrt{5-4x+x^{2}}< frac{3}{2})

Vế trái có (sqrt{1+2(x-3)^{2}}≥ 1 ∀x ∈mathbb R),

 (sqrt{5-4x+x^{2}}=sqrt{1+(x-2)^{2}}≥ 1 ∀x ∈mathbb R)

Suy ra: (sqrt{1+2(x-3)^{2}}) + (sqrt{5-4x+x^{2}} ≥ 2, ∀ x ∈mathbb R)

Mệnh đề sai (∀x ∈mathbb R).

Bất phương trình vô nghiệm.

c) (sqrt{1+x^{2}}-sqrt{7+x^{2}}> 1)

(eqalign{
& 1 + {x^2} < 7 + {x^2} Rightarrow sqrt {1 + {x^2}} < sqrt {7 + {x^2}} cr
& Rightarrow sqrt {1 + {x^2}} - sqrt {7 + {x^2}} < 0 cr} )

( Rightarrow sqrt {1 + {x^2}} - sqrt {7 + {x^2}} > 1) Vô nghiệm.

soanbailop6.com