Bài 2 trang 214 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Giải phương trình ...
Giải phương trình
Giải phương trình (f'left( x ight) = gleft( x ight),) biết rằng
a) (fleft( x ight) = {{1 - cos 3x} over 3};gleft( x ight) = left( {cos 6x - 1} ight)cot 3x.)
b) (fleft( x ight) = {1 over 2}cos 2x;gleft( x ight) = 1 - {left( {cos 3x + sin 3x} ight)^2}.)
c) (fleft( x ight) = {1 over 2}sin 2x + 5cos x;gleft( x ight) = 3{sin ^2}x + {3 over {1 + {{ an }^2}x}}.)
Giải :
a) (fleft( x ight) = {{1 - cos 3x} over 3} Rightarrow f'left( x ight) = sin 3x.) Ta có
(f'left( x ight) = gleft( x ight) Leftrightarrow left( {cos 6x - 1} ight).cot 3x = sin 3x) (điều kiện: (sin 3x e 0 Leftrightarrow cos 3x e pm 1) )
(eqalign{
& Leftrightarrow left( {cos 6x - 1}
ight).cos 3x = {sin ^2}3x cr
& Leftrightarrow left( {1 - 2{{sin }^2}3x - 1}
ight).cos 3x = {sin ^2}3x cr
& Leftrightarrow {sin ^2}3x.left( {2cos 3x + 1}
ight) = 0 cr
& Leftrightarrow cos 3x = - {1 over 2}{
m{ }}left( {{
m{vì}},,sin 3x
e 0{
m{ }}}
ight) cr
& Leftrightarrow cos 3x = cos {{2pi } over 3} cr
& Leftrightarrow 3x = pm {{2pi } over 3} + k2pi cr
& Leftrightarrow x = pm {{2pi } over 9} + k{{2pi } over 3}{
m{ }}left( {k in Z}
ight). cr} )
b) (fleft( x ight) = {1 over 2}cos 2x Rightarrow f'left( x ight) = - sin 2x.) Ta có
(eqalign{
& f'left( x
ight) = gleft( x
ight) cr
& Leftrightarrow - sin 2x = 1 - {left( {cos 3x + sin 3x}
ight)^2} cr
& Leftrightarrow 1 + sin 2x = {left( {cos 3x + sin 3x}
ight)^2} cr
& Leftrightarrow 1 + sin 2x = 1 + 2sin 3xcos 3x cr
& Leftrightarrow sin 6x - sin 2x = 0 cr
& Leftrightarrow 2cos 4xsin 2x = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
cos 4x = 0 hfill cr
sin 2x = 0 hfill cr}
ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
4x = {pi over 2} + kpi hfill cr
2x = npi hfill cr}
ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = {pi over 8} + k{pi over 4} hfill cr
x = n{pi over 2} hfill cr}
ight.left( {k,n in Z}
ight). cr})
c) (fleft( x ight) = {1 over 2}sin 2x + 5cos x Rightarrow f'left( x ight) = cos 2x - 5sin x.) Ta có
(eqalign{
& f'left( x
ight) = gleft( x
ight) cr
& Leftrightarrow cos 2x - 5sin x = 3{sin ^2}x + {3 over {1 + {{ an }^2}x}} cr
& Leftrightarrow 5sin x + {3 over {1 + {{ an }^2}x}} = cos 2x - 3{sin ^2}x cr
& Leftrightarrow 5sin x + 3{cos ^2}x = {cos ^2}x - 4{sin ^2}x cr
& Leftrightarrow 5sin x = - 2{cos ^2}x - 4{sin ^2}x cr
& Leftrightarrow 5sin x = - 2 - 2{sin ^2}x cr
& Leftrightarrow 2{sin ^2}x + 5sin x + 2 = 0. cr} )
Đặt (t = sin x,t in left[ { - 1;1} ight],) ta có phương trình (2{t^2} + 5t + 2 = 0.)
Giải phương trình (t = - {1 over 2}) ta được (loại t = -2 ).
(eqalign{
& sin x = - {1 over 2} cr
& Leftrightarrow sin x = sin left( { - {pi over 6}}
ight) cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
x = - {pi over 6} + k2pi hfill cr
x = {{7pi } over 6} + k2pi hfill cr}
ight.left( {k in Z}
ight). cr} )
