Bài 2 trang 170 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm giới hạn của dãy số:

Tìm giới hạn của dãy số (left( {{u_n}} ight)) với

a) ({u_n} = {{{{left( { - 1} ight)}^n}} over {{n^2} + 1}}) ;

b) ({u_n} = {{{2^n} - n} over {{3^n} + 1}})    

Giải:

a)      Ta có, (left| {{u_n}} ight| = left| {{{{{left( { - 1} ight)}^n}} over {{n^2} + 1}}} ight| = {1 over {{n^2} + 1}}). Đặt ({v_n} = {1 over {{n^2} + 1}})       (1)

Ta có (lim {v_n} = lim {1 over {{n^2} + 1}} = lim {{{1 over {{n^2}}}} over {1 + {1 over {{n^2}}}}} = 0)

Do đó, (left| {{v_n}} ight|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Từ (1) suy ra, (left| {{u_n}} ight| = {v_n} = left| {{v_n}} ight|)

Vậy, (left| {{u_n}} ight|) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là (lim {u_n} = 0)

b)      Hướng dẫn : (left| {{u_n}} ight| = left| {{{{2^n} - n} over {{3^n} + 1}}} ight| < {{{2^n}} over {{3^n} + 1}})