Bài 2 trang 127 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N*

Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N*

a) ({A_n} = {1 over {1.2.3}} + {1 over {2.3.4}} + ... + {1 over {nleft( {n + 1} ight)left( {n + 2} ight)}} = {{nleft( {n + 3} ight)} over {4left( {n + 1} ight)left( {n + 2} ight)}}) ;

b) ({B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + {{nleft( {n + 1} ight)} over 2} = {{nleft( {n + 1} ight)left( {n + 2} ight)} over 6}) ;

c) ({S_n} = sin x + sin 2x + sin 3x + ... + sin nx = {{sin {{nx} over 2}.sin {{left( {n + 1} ight)x} over 2}} over {sin {x over 2}}})  

Giải:

a)      HD: Kiểm tra với n = 1 sau đó biểu diễn

({A_{k + 1}} = {A_k} + {1 over {left( {k + 1} ight)left( {k + 2} ight)left( {k + 3} ight)}})

b)      HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã cho ({B_k} = {{kleft( {k + 1} ight)left( {k + 2} ight)} over 2})

Ta cần chứng minh

({B_{k + 1}} = {{left( {k + 1} ight)left( {k + 2} ight)left( {k + 3} ight)} over 2}) bằng cách tính ({B_{k + 1}} = {B_k} + {{left( {k + 1} ight)left( {k + 2} ight)} over 2})

c)      HD: Kiểm tra với n = 1

Giả sử đã có ({S_k} = {{sin {{kx} over 2}.sin {{left( {k + 1} ight)} over 2}x} over {sin {x over 2}}})

Viết ({S_{k + 1}} = {S_k} + sin left( {k + 1} ight)x) sử dụng giả thiết quy nạp và biến đổi ta có

({S_{k + 1}} = {{sin {{left( {k + 1} ight)x} over 2}.sin {{left( {k + 2} ight)} over 2}x} over {sin {x over 2}}}left( {đpcm} ight))