Bài 2.9 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn

Cho hàm số 

(fleft( x ight) = left{ matrix{
{1 over {x - 1}} - {3 over {{x^3} - 1}}{ m{ , nếu,, }}x > 1 hfill cr
mx + 2{ m{ }},,{ m{ nếu }},,x le 1 hfill cr} ight.)

Với giá trị nào của tham số m thì hàm số f(x) có giới hạn khi (x o 1) ? Tìm giới hạn này.

Giải:

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} left( {{1 over {x - 1}} - {3 over {{x^3} - 1}}} ight) cr
& = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{{x^2} + x - 2} over {left( {x - 1} ight)left( {{x^2} + x + 1} ight)}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{left( {x - 1} ight)left( {x + 2} ight)} over {left( {x - 1} ight)left( {{x^2} + x + 1} ight)}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o {1^ + }} {{x + 2} over {{x^2} + x + 1}} = 1 cr} )

(mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} fleft( x ight) = mathop {lim }limits_{x o {1^ - }} left( {mx + 2} ight) = m + 2) 

(fleft( x ight)) có giới hạn khi (x o 1 Leftrightarrow m + 2 = 1 Leftrightarrow m =  - 1). Khi đó (mathop {lim }limits_{x o 1} fleft( x ight) = 1)