Bài 2.7 trang 164 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính giới hạn của các hàm số sau

Tính giới hạn của các hàm số sau khi (x o  + infty ) và khi (x o  - infty )

a) (fleft( x ight) = {{sqrt {{x^2} - 3x} } over {x + 2}}) ;

b) (fleft( x ight) = x + sqrt {{x^2} - x + 1}) ;

c) (fleft( x ight) = sqrt {{x^2} - x}  - sqrt {{x^2} + 1} ) .

Giải:

a) Khi  (x o  + infty )

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } {{sqrt {{x^2} - 3x} } over {x + 2}} = mathop {lim }limits_{x o + infty } {{left| x ight|sqrt {1 - {3 over x}} } over {x + 2}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o + infty } {{xsqrt {1 - {3 over x}} } over {x + 2}} = mathop {lim }limits_{x o + infty } {{sqrt {1 - {3 over x}} } over {1 + {2 over x}}} = 1 cr} )

Khi (x o  - infty )

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o - infty } {{sqrt {{x^2} - 3x} } over {x + 2}} = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{left| x ight|sqrt {1 - {3 over x}} } over {x + 2}} cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{ - xsqrt {1 - {3 over x}} } over {x + 2}} = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{ - sqrt {1 - {3 over x}} } over {1 + {2 over x}}} = - 1 cr}) ;

b)  Khi  (x o  + infty )

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {x + sqrt {{x^2} - x + 1} } ight) cr
& = mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {x + xsqrt {1 - {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} } ight) cr
& = mathop {lim }limits_{x o + infty } xleft( {1 + sqrt {1 - {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} } ight) = + infty cr} )

Khi (x o  - infty )

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o - infty } left( {x + sqrt {{x^2} - x + 1} } ight) cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{{x^2} - left( {{x^2} - 1 + 1} ight)} over {x - sqrt {{x^2} - x + 1} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{x - 1} over {x - sqrt {{x^2} - x + 1} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{x - 1} over {x - left| x ight|sqrt {1 - {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{x - 1} over {x + xsqrt {1 - {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{1 - {1 over x}} over {1 + sqrt {1 - {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }} = {1 over 2} cr} )

c) Khi  (x o  + infty )

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o + infty } left( {sqrt {{x^2} - x} - sqrt {{x^2} + 1} } ight) cr
& = mathop {lim }limits_{x o + infty } {{left( {{x^2} - x} ight) - left( {{x^2} + 1} ight)} over {sqrt {{x^2} - x} + sqrt {{x^2} + 1} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o + infty } {{ - x - 1} over {xsqrt {1 - {1 over x}} + xsqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o + infty } {{ - 1 - {1 over x}} over {sqrt {1 - {1 over x}} + sqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} }} = {{ - 1} over 2}; cr} )

Khi (x o  - infty )

(eqalign{
& mathop {lim }limits_{x o - infty } left( {sqrt {{x^2} - x} - sqrt {{x^2} + 1} } ight) cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{left( {{x^2} - x} ight) - left( {{x^2} + 1} ight)} over {sqrt {{x^2} - x} + sqrt {{x^2} + 1} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{ - x - 1} over { - xsqrt {1 - {1 over x}} - xsqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} }} cr
& = mathop {lim }limits_{x o - infty } {{ - 1 - {1 over x}} over { - sqrt {1 - {1 over x}} - sqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} }} = {1 over 2} cr})