Bài 2.6 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Các dãy số (un), (vn) được xác định bằng công thức ...
Các dãy số (un), (vn) được xác định bằng công thức
Các dãy số (un), (vn)được xác định bằng công thức
a) (left{ matrix{
{u_1} = 1 hfill cr
{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3}{
m{ voi }}n ge 1; hfill cr}
ight.)
b) (left{ matrix{
{v_1} = 2 hfill cr
{v_{n + 1}} = v_n^2{
m{ }}voi{
m{ }}n ge 1 hfill cr}
ight.)
Tìm công thức tính (un), (vn) theo n. Tính số hạng thứ 100 của dãy số (un). Hỏi số 4294967296 là số hạng thứ mấy của dãy số (vn)
Giải:
a) Từ ({u_{n + 1}} - {u_n} = {n^3}) ta có
(eqalign{
& {u_1} = 1; cr
& {u_2} - {u_1} = {1^3}; cr
& {u_3} - {u_2} = {2^3}; cr
& ... cr
& {u_{n - 1}} - {u_{n - 2}} = {left( {n - 2}
ight)^3}; cr
& {u_n} - {u_{n - 1}} = {left( {n - 1}
ight)^3}. cr} )
Cộng từng vế n đẳng thức trên và rút gọn, ta được
({u_n} = 1 + {1^3} + {2^3} + ... + {left( {n - 1} ight)^3})
Sử dụng kết quả bài tập 12 b) - ta có
({1^3} + {2^3} + ... + {left( {n - 1} ight)^3} = {{{{left( {n - 1} ight)}^2}{n^2}} over 4})
Vậy
(eqalign{
& {u_n} = 1 + {{{n^2}{{left( {n - 1}
ight)}^2}} over 4}. cr
& {u_{100}} = 24502501. cr} )
b) Hãy viết một vài số hạng đầu của dãy và quan sát
(eqalign{
& {v_1} = 2; cr
& {v_2} = v_1^2 = {2^2}; cr
& {v_3} = v_2^2 = {2^4} = {2^{{2^2}}}; cr
& {v_4} = v_3^2 = {2^8} = {2^{{2^3}}} cr} )
Từ đây dự đoán ({v_n} = {2^{{2^{n - 1}}}})
Công thức trên dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Số 4294967296 là số hạng thứ sáu của dãy số (vn)
