Bài 2.37 trang 84 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trên Ax lấy đoạn AA’ = a, trên By lấy đoạn BB’ = b, trên Cz lấy đoạn CC’ = c.

Trong mặt phẳng (left( alpha   ight)) cho tam giác ABC. Từ ba đỉnh của tam giác này ta kẻ các nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz không nằm trong (left( alpha   ight)). Trên Ax lấy đoạn AA’ = a, trên By lấy đoạn BB’ = b, trên Cz lấy đoạn CC’ = c.

a)  Gọi I, J và K lần lượt là các giao điểm B’C’, C’A’ và A’B’ với (left( alpha   ight)).

Chứng minh rằng ({{IB} over {IC}}.{{JC} over {J{ m{A}}}}.{{K{ m{A}}} over {KB}} = 1)

b)  Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’.

Chứng minh: (GG'parallel AA').

c)  Tính GG’ theo a, b, c

Giải:

a) (CC'parallel BB' Rightarrow Delta ICC' sim Delta IBB')

( Rightarrow {{IB} over {IC}} = {{BB'} over {CC'}} = {b over c})

(CC'parallel AA' Rightarrow Delta JCC' sim Delta JAA') 

( Rightarrow {{JC} over {JA}} = {{CC'} over {AA'}} = {c over a})

(AA'parallel BB' Rightarrow Delta KAA' sim Delta KBB') 

( Rightarrow {{KA} over {KB}} = {{AA'} over {BB'}} = {a over b}) 

Do đó: ({{IB} over {IC}}.{{JC} over {J{ m{A}}}}.{{K{ m{A}}} over {KB}} = {b over c}.{c over a}.{a over b} = 1)

b) Gọi H và H’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’. Vì HH’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’ nên (HH'parallel BB').

Mà (BB'parallel AA') suy ra (HH'parallel AA')

Ta có: (G in AH) và (G' in A'H') và ta có:

(left{ matrix{
{{AG} over {AH}} = {2 over 3} hfill cr
{{A'G'} over {A'H'}} = {2 over 3} hfill cr} ight. Rightarrow AA'parallel GG'parallel HH')

c) (AH' cap GG' = M Rightarrow GG' = G'M + MG)

Ta có: (G'Mparallel AA' Rightarrow Delta H'G'M sim Delta H'A'A)

( Rightarrow {{G'M} over {AA'}} = {{H'G'} over {H'A'}} = {1 over 3} Rightarrow G'M = {1 over 3}AA' = {1 over 3}a)

(MGparallel HH' Rightarrow Delta AMG sim Delta AH'H) 

( Rightarrow {{MG} over {HH'}} = {{AG} over {AH}} = {2 over 3} Rightarrow MG = {2 over 3}HH') 

Mặt khác HH’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’ nên

(HH' = {{BB' + CC'} over 2} = {{b + c} over 2} Rightarrow MG = {2 over 3}HH' = {2 over 3}.{{b + c} over 2} = {1 over 3}left( {b + c} ight))

Do đó: (GG' = G'M + MG = {1 over 3}a + {1 over 3}left( {b + c} ight) = {1 over 3}left( {a + b + c} ight))

Vậy (GG' = {1 over 3}left( {a + b + c} ight)).

Sachbaitap.com