Bài 2.19 trang 74 SBT Hình học 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD =...

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.

a) Chứng minh rằng (OGparallel left( {SBC} ight))

b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng (CMparallel left( {SAB} ight)).

c) Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho (S{ m{C = }}{3 over 2}SI). Chứng minh rằng (SAparallel left( {BI{ m{D}}} ight)).

Giải:

a) Gọi H là trung điểm của SC

Ta có:

({{DG} over {DH}} = {2 over 3} ,,,,, left( 1 ight)) 

(BCparallel A{ m{D}} Rightarrow {{O{ m{D}}} over {OB}} = {{OA} over {OC}} = {{AD} over {BC}} = 2) 

( Rightarrow O{ m{D}} = 2{ m{O}}B) 

( Rightarrow {{O{ m{D}}} over {B{ m{D}}}} = {2 over 3} ,,,, left( 2 ight))

Từ (1) và (2) (Rightarrow {{DG} over {DH}} = {{O{ m{D}}} over {B{ m{D}}}} Rightarrow OGparallel BH)

(BH subset left( {SBC} ight) Rightarrow OGparallel left( {SBC} ight))

b) Gọi M’ là trung điểm của (SA Rightarrow MM’parallel A{ m{D}}) và (MM’ = {{A{ m{D}}} over 2}). Mặt khác vì (BCparallel A{ m{D}}) và (BC = {{A{ m{D}}} over 2}) nên (BCparallel MM’) và (BC = MM’).

Do đó tứ giác BCMM’ là hình bình hành ( Rightarrow CMparallel BM’) mà (BM’ subset left( {SAB} ight))

( Rightarrow CMparallel left( {SAB} ight)) 

c) Ta có: ({{OC} over {OA}} = {1 over 2}) nên ({{OC} over {CA}} = {1 over 3}). Mặt khác vì (SC = {3 over 2}SI) nên ({{CI} over {CS}} = {1 over 3}).

({{OC} over {CA}} = {{CI} over {CS}} Rightarrow OIparallel SA)

(OI subset left( {BID} ight) Rightarrow SAparallel left( {BID} ight))