Bài 2.14 trang 63 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Hướng dẫn làm bài:

Giả sử ta có mặt cầu tâm I đi qua các đỉnh S, A, B, C của hình chóp. Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo giao tuyến là đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Vì SA = SB = SC nên ta có (SO ot (ABC)) và OS là trục của đường tròn tâm O. Do đó (SO ot AO) . Trong tam giác SAO, đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I và ta được hai tam giác vuông đồng dạng là SIM và SAO, với M là trung điểm của cạnh SA.

Ta có ({{SI} over {SA}} = {{SM} over {SO}} = {{SA} over {2SO}})  với SI = IA = IB = IC = r

Vậy (r = SI = {{S{A^2}} over {2SO}} = {{{a^2}} over {2h}})

Do đó diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC đã cho là :

(S = 4pi {r^2} = 4pi {({{{a^2}} over {2h}})^2} = pi {{{a^4}} over {{h^2}}})

Sachbaitap.com