Bài 2.1 trang 49 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Một hình nón tròn xoay có đỉnh là D, tâm của đường tròn đáy là O, đường sinh bằng l và có góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng alpha.

Một hình nón tròn xoay có đỉnh là D, tâm của đường tròn đáy là O, đường sinh bằng l và có góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng (alpha ).

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên.

b) Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho ({{DI} over {DO}} = k(0 < k < l)) . Tính diện tích thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.

Hướng dẫn làm bài:

a) Gọi r là bán kính của đường tròn đáy.

Ta có (OA{ m{ }} = { m{ }}r{ m{ }} = l.cos alpha ) (với O là tâm của đường tròn đáy và A là một điểm trên đường tròn đó).

Ta suy ra:  ({S_{xq}} = pi rl = pi {l^2}cos alpha )

Khối nón có chiều cao (h = DO = lsin alpha )  . Do đó thể tích V của khối nón được tính theo công thức (V = {1 over 3}Bh = {1 over 3}pi {r^2}.h)

Vậy : (V = {1 over 3}pi {l^2}{cos ^2}alpha .lsin alpha  = {1 over 3}pi {l^3}{cos ^2}alpha sin alpha )

b) Thiết diện qua I và vuông góc với trục hình nón là một hình tròn bán kính  r’ với ({{r'} over r} = {{DI} over {DO}} = k)

Gọi s là diện tích của thiết diện và S là diện tích của đáy hình tròn ta có:

 ({s over S} = {k^2}Leftrightarrow s = {k^2}S), trong đó (S = pi {r^2} = pi {l^2}{cos ^2}alpha )

Vậy diện tích của thiết diện đi qua điểm I và vuông góc với trục hình nón là: (s = {k^2}S = {k^2}pi {l^2}{cos ^2}alpha )

Sachbaitap.com