Bài 15,16,17, 18,19,20, 21,22,23, 24,25,26 trang 75,76 Toán 9 tập 2: Góc nội tiếp

Bài 15,16,17, 18,19,20, 21,22,23, 24,25,26 trang 75,76 Toán 9 tập 2: Góc nội tiếp

Lý thuyết và Giải bài 15, 16, 17, 18 trang 75; Bài 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 trang 76 Toán 9 tập 2: Góc nội tiếp. 

Bài 15. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Trong một đườngtròn, các góc.nội.tiếp cùng chắn mộtcung thì bằng nhau.

b) Trong một đườngtròn, các góc.nội.tiếp bằng nhau thì cùng chắn mộtcung.

Đáp án: a) Đúng (theo hệ quả a)

b) Sai, vì trong một đườngtròn có thể có các góc nộitiếp bằng nhau nhưng không cùng chắn một cung.

Bài 16. Xem hình 19 ( hai đườngtròn có tâm là B, C và điểm B nằm trên đườngtròn tâm C).

a) Biết góc ∠MAN = 30⁰, tính ∠PCQ.

b) Nếu ∠PCQ = 136⁰ thì ∠MAN có số đo là bao nhiêu?

Đáp án: Vận dụng định lí số đo của góc nộitiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn, ta có:
a)∠PBQ = ∠MBN = sđcungMN = 2∠MAN = 2.30⁰ =60⁰

∠PCQ = sđcungPQ = 2∠PBQ = 2.60⁰ =120⁰

b) ∠PBQ = 136⁰ ⇒ ∠MAN = 1/2∠PCQ = 136/4 = 34⁰

Bài 17. Muốn xác định tâm của một đườngtròn àm chỉ dùng êke thì phải làm như thế nào?

Vận dụng hệ quả b, ta dùng êke ở hình trên. Tâm đườngtròn chính là giao điểm của hai cạnh huyền của hai tam giác vuông nội tiếp trong đườngtròn.

Bài 18 trang 75. Một huấn luyện viên cho cầu thủ tập sút bóng vào cầu môn PQ. Bóng được đặt ở các vị trí A, B, C trên một cung tròn như hình 20. 

Hãy so sánh các góc  ∠PAQ, ∠PBQ, ∠PCQ.

Giải. Với các vị trí A, B, C trên một cung tròn thì ta được các góc nội tiếp  ∠PAQ, ∠PBQ, ∠PCQ cùng chắn một cung  PQ , nên suy ra  ∠PAQ = ∠PBQ = ∠PCQ.

Vậy với các vị trí trên thì các “góc sút” đều bằng nhau, không có “góc sút” nào rộng hơn.

Luyện tập Bài 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 trang 75, 76 SGK Toán 9 tập 2

Bài 19. Cho một đg tròn tâm O, đường kính AB và S là một điểm nằm ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt  cắt đg tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.

Ta có góc ∠AMB = 90⁰ (Vì là gócnộitiếp chắn nửa đg tròn). ⇒ BM ⊥ SA.

Tương tự, ta có: AN ⊥ SB

Như vậy AN và BN là hai đường cao của tam giác SAB và H là trực tâm. Vì trong một tam giác 3 đường cao đồng qui. Suy ta SH ⊥ AB.

Bài 20. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường-tròn. Chứng minh rằng ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Giải. 

Nối B với 3 điểm A, C, D ta có:

∠ABC =  90⁰ (gócnộitiếp chắn nửa đg tròn)

∠ABD =  90⁰ (gócnộitiếp chắn nửa đg tròn)

Vậy ∠CBD = ∠ABC + ∠ABD = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰

Do đó ba điểm C,B,D thẳng hàng.

Bài 21. Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt O tại M và cắt (O’) tại N ( A nằm giữa M và N). Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?

Ta có:
+ góc ∠BMA chắn cung AmB nhỏ thuộc (O)
+ góc ∠BNA chắn cung AnB nhỏ thuộc (O’)
cung AmB = cung AnB (hai cung thuộc hai đg tròn bằng nhau cùng căng bởi dây AB)

⇒ ∠BMA = ∠BNA ⇒ Tam giác MBN cân tại B.

Bài 22 trang 76. Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A và B). Vẽ đường qua A cắt (O) tại A. Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có: MA² = MB.MC

Ta có CA ⊥ AB ( tính chất của tiếp tuyến)

⇒ ΔABC vuông tại A.

Mặt khác ∠AMB = 90⁰ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

nên AM là đường cao của ΔABC.

Tóm lại: Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường cao, nên MA² = MB.MC

Bài 23 trang 76 Toán 9. Cho đườngtròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đườngtròn. Qua M kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B.Đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại C và D.

Chứng minh MA. MB = MC. MD

Đáp án : Xét hai trường hợp:

a) M ở bên trong đườngtròn (hình a)

Xét hai tam giác MAB’ và MA’B chúng có:

∠M₁= ∠M₂ ( đối đỉnh)

∠B’= ∠B (hai góc nội tiếp cùng chắn cung  AA’).

Do đó ∆MAB’  ~ ∆MA’B, suy ra:

MA/MA’ =MB’/MB, do đó MA. MB = MB’. MA’

b) M ở bên ngoài đường-tròn (hình b)

∆MAB’  ~ ∆MA’B

M chung   ∠B’= ∠B  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AA’).

Suy ra:     MA/MA’ = MB’/MB, do đó MA. MB = MB’. MA’

Bài 24.

Một chiếc cầu được thiết kế như hình 21 có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m. Hãy tính bán kính của đường tròn chứa cung AMB.

Chiếc cầu là cung của đường-tròn tâm O. Gọi MM’ là đường kidnh của đường tròn thì góc ∠MBM’= 90⁰ vì chắn nửa đường-tròn. Tam giác MBM’ có đường cao từ đỉnh góc vuông là BK. Ta có:

(AB/2)² = BK² = MK.M’K =3(2R -3) = 400 trong đó R là bán kính của cung tròn AMB

Từ đó suy ra: R = 409/6  ≈ 68,17m

Bài 25. Dựng một tam giác vuông, biết cạnh huyền dài 4cm và một cạnh góc vuông dài 2,5 cm.

Cách vẽ như sau:

– Vẽ đoạn thẳng BC dài 4cm.

– Vẽ nửa đưởng tròn đường kính BC.

– Vẽ dây AB (hoặc dây CA) dài 2,5cm.

Ta có tam giác thỏa mãn các yêu cầu của đầu bài ( ∠A = 90⁰, BC = 4cm, AB = 2,5cm).

Bài 26. Cho AB, BC, CA là ba dây của đgtròn (O). Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và SN = SA.

a) Chứng minh SM = SC:
Theo giả thiết ta có cung MA = cung MB (1)
mà MN//BX Do đó: cung MB = cung NC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: cung MA = cung NC

⇒ ∠ACM = ∠CMN
Vậy ΔSMC là tam giác cân tại S. Suy ra SM = SC (đpcm)
b) Chứng minh SN = SA:
Theo chứng minh ở câu a) ta có: Cung Ma = cung NC (1)
Ta có ∠ANM là góc nội tiếp chắn cung MA và góc ∠NAC là góc nội tiếp chắn cung NC.
Từ (1) và (2), suy ra: ∠ANM = ∠NAC
Vậy ΔSAN cân tại S. Suy ra SN = SA (đpcm)