Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 12 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

Bài 12. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (y = xsqrt {4 - {x^2}} )              b) (y = sqrt {8 - {x^2}} )

c) (y = x - sin 2x + 2)      d) (y = 3 - 2cos x - cos 2x)

Giải

a) Tập xác định: (D = left[ { - 2;2} ight])

(y' = sqrt {4 - {x^2}}  + x.{{ - x} over {sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - {x^2} - {x^2}} over {sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} over {sqrt {4 - {x^2}} }})

(y' = 0 Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 Leftrightarrow x =  pm sqrt 2 )

(yleft( { - sqrt 2 } ight) =  - 2;yleft( {sqrt 2 } ight) = 2)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x =  - sqrt 2 ); giá trị cực tiểu (yleft( { - sqrt 2 } ight) =  - 2)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = sqrt 2 ); giá trị cực đại (yleft( {sqrt 2 } ight) = 2)

b) TXĐ: (D = left[ { - 2sqrt 2 ;2sqrt 2 } ight])

(y' = {{ - x} over {sqrt {8 - {x^2}} }};,y' = 0 Leftrightarrow x = 0;,yleft( 0 ight) = 2sqrt 2 )

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x=0), giá trị cực đại (yleft( 0 ight) = 2sqrt 2 )

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: (D=mathbb R)

(,y' = 1 - 2cos 2x;y' = 0 Leftrightarrow cos 2x = {1 over 2} = cos {pi  over 3} Leftrightarrow x =  pm {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb {Z}})

(y' = 4sin 2x)

* Ta có: (y'left( {{pi  over 6} + kpi } ight) = 4sin left( { - {pi  over 3}} ight) =  - 2sqrt 3  < 0)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm (x =  - {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực đại

(yleft( { - {pi  over 6} + kpi } ight) =  - {pi  over 6} + kpi  + {{sqrt 3 } over 2} + 2)

 (y'left( {{pi  over 6} + kpi } ight) = 4sin left( {{pi  over 3}} ight) = 2sqrt 3  > 0).

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x = {pi  over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực tiểu:

(yleft( {{pi  over 6} + kpi } ight) = {pi  over 6} + kpi  - {{sqrt 3 } over 2} + 2)

d) Áp dụng quy tắc 2.

(,y' = 2sin x + 2sin 2x = 2sin xleft( {1 + 2cos x} ight);)

(y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
sin x = 0 hfill cr
cos x = - {1 over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = kpi hfill cr
x = pm {{2pi } over 3} + 2kpi ,k in {mathbb{Z}} hfill cr} ight.)

(y' = 2cos x + 4cos 2x.)
 (y'left( {kpi } ight) = 2cos kpi  + 4cos 2kpi  = 2cos kpi  + 4 > 0) với mọi (k in {mathbb{Z}})

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm (x = kpi ), giá trị cực tiểu:

(yleft( {kpi } ight) = 3 - 2cos kpi  - cos 2kpi  = 2 - 2cos kpi )

 (y'left( { pm {{2pi } over 3} + k2pi } ight) = 2cos {{2pi } over 3} + 4cos {{4pi } over 3} = 6cos {{2pi } over 3} =  - 3 < 0.)

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm (x =  pm {{2pi } over 3} + k2pi ,k in {mathbb{Z}}); giá trị cực đại:

(yleft( { pm {{2pi } over 3} + k2pi } ight) = 3 - 2cos {{2pi } over 3} - cos {{4pi } over 3} = {9 over 2}).

soanbailop6.com