Bài 11 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bài 11 trang 124 SGK Hình học 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng có phương trình trong đó a, b, c thay đổi sao cho a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua một điểm cố định, góc giữa và Oz là không đổi. b) Tìm quỹ tích các giao điểm của và mp(Oxy).

Bài 11. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (Delta ) có phương trình 

(left{ matrix{
x = 1 + at hfill cr
y = 1 + bt hfill cr
z = 5 + ct hfill cr} ight.) trong đó a, b, c thay đổi sao cho ({c^2} = {a^2} + {b^2}.)

a) Chứng minh rằng đường thẳng (Delta ) đi qua một điểm cố định, góc giữa (Delta ) và Oz là không đổi.
b) Tìm quỹ tích các giao điểm của (Delta ) và mp(Oxy).

Giải

a) (Delta ) đi qua điểm A(1; 1; 5) cố định.
(Delta ) có vectơ chỉ phương (overrightarrow u  = left( {a,b,c} ight).)
Gọi (varphi ) là góc giữa (Delta ) và trục Oz. Ta có:
(cos varphi  = left| {cos left( {overrightarrow u ,overrightarrow k } ight)} ight| = left| {{c over {sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}} ight| = left| {{c over {csqrt 2 }}} ight| = {{sqrt 2 } over 2}.)
Suy ra (varphi  = {45^0}.)
b) Vì ({c^2} = {a^2} + {b^2}) nên (c e 0) (vì nếu c = 0 thì a = b = 0).
Gọi M(x, y, z) là giao điểm của (Delta ) và mp(Oxy) thì (x, y, z) thỏa mãn hệ phương trình:

(left{ matrix{
x = 1 + at hfill cr
y = 1 + bt hfill cr
z = 5 + ct hfill cr
z = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x - 1 = at hfill cr
y - 1 = bt hfill cr
t = - {5 over c} hfill cr
z = 0 hfill cr} ight..)

Từ đó suy ra ({left( {x - 1} ight)^2} + {left( {y - 1} ight)^2} = left( {{a^2} + {b^2}} ight).{{25} over {{c^2}}} = 25) và z = 0.
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(1; 1; 0) bán kính bằng 5 và nằm trong mp(Oxy).

soanbailop6.com