Bài 1 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

Bài 1 trang 45 SGK Hình học 12 Nâng cao

Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB, BC, CD sao cho . Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Tính bán kính mặt cầu đó

Bài 1. Trong không gian cho ba đoạn thẳng (AB, BC, CD) sao cho (AB ot BC,,,,,BC ot CD,,,,,CD ot AB) . Chứng minh rằng có mặt cầu đi qua bốn điểm (A, B, C, D). Tính bán kính mặt cầu đó nếu (AB = a,,,,,BC = b,,,,,CD = c) .

Giải

Vì (AB ot BC) và (AB ot CD) nên (AB ot left( {BCD} ight)). Suy ra (AB ot BD)

Vì (CD ot BC) và (CD ot AB) nên (CD ot left( {ABC} ight) Rightarrow CD ot AC)

Gọi (I) là trung điểm (AD), ta có (IB = IA = ID = IC) nên các điểm (A, B, C, D) cùng nằm trên mặt cầu đường kính (AD).

Mặt khác ta có: (A{D^2} = A{B^2} + B{D^2} = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2})

Do đó bán kính mặt cầu là (R = {1 over 2}AD = {1 over 2}sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} )

soanbailop6.com