Bài 1.52 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Cho hàm số (y = {{(a - 1){x^3}} over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x)

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với (a = {3 over 2}).

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:  (y = |{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2}|)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  

(eqalign{
& y' = 15{x^4} + 5 > 0,forall x in R cr
& y = {{(a - 1){x^3}} over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x cr
& y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2 cr} )                  .

+)Với a = 1, y’ = 2x + 1  đổi dấu khi x đi qua ( - {1 over 2}) . Hàm số không luôn luôn đồng biến.

+) Với (a e 1) thì với mọi x mà tại đó (y' ge 0)

(Leftrightarrow left{ matrix{
a - 1 > 0 hfill cr
Delta ' = - 2{a^2} + 5a - 2 le 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow a ge 2)   

(y’ = 0  chỉ tại x = -2 khi a = 2)

Vậy với (a ge 2)  hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:

(eqalign{
& y = 0 Leftrightarrow x{ m{[}}{{(a - 1){x^2}} over 3} + ax + 3a - 2] = 0 cr
& Leftrightarrow  x{ m{[}}(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6] = 0 cr} )

 y = 0    có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình:

((a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Muốn vậy, ta phải có: 

(left{ matrix{
a - 1 e 0 hfill cr
Delta = 9{a^2} - 4(a - 1)(9a - 6) > 0 hfill cr
9a - 6 e 0 hfill cr} ight.)                                

Giải hệ trên ta được:

({{10 - sqrt {28} } over 9} < a < {2 over 3};{2 over 3} < a < 1;1 < a < {{10 + sqrt {28} } over 9})

c) Khi  (a = {3 over 2}) thì (y = {{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2})

(y' = {{{x^2}} over 2} + 3x + {5 over 2})

(y' = 0 Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = - 1 hfill cr
x = - 5 hfill cr} ight.)      

Bảng biến thiên:

         

Đồ thị

     

Vì 

(|{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2}| = left{ matrix{
{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2},{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2} ge 0 hfill cr
- ({{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2}),{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2} < 0 hfill cr} ight.)

Nên từ đồ thị  (C) ta suy ra ngay đồ thị hàm số: (y = |{{{x^3}} over 6} + {{3{x^2}} over 2} + {{5x} over 2}|)

Sachbaitap.com