Bài 1.4 trang 12 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình ({x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0). Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v  = left( { - 2;5} ight)).

Giải:

Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm (Ileft( {1; - 2} ight)), bán kính (r = 3).Gọi (I' = {T_{overrightarrow v }}left( I ight) = left( {1 - 2; - 2 + 5} ight) = left( { - 1;3} ight)) và (C') là ảnh của (C) qua ({T_{overrightarrow v }}) thì (C') là đường tròn tâm (I') bán kính (r = 3). Do đó (C') có phương trình:

({left( {x + 1} ight)^2} + {left( {y - 3} ight)^2} = 9)

Cách 2.  Biểu thức tọa độ của ({T_{overrightarrow v }}) là

(left{ matrix{
x' = x - 2 hfill cr
y' = y + 5 hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
x = x' + 2 hfill cr
y = y' - 5 hfill cr} ight.)

Thay vào phương trình của (C) ta được

(eqalign{
& {left( {x' + 2} ight)^2} + {left( {y' - 5} ight)^2} - 2left( {x' + 2} ight) + 4left( {y' - 5} ight) - 4 = 0 cr
& Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} + 2x' - 6y' + 1 = 0 cr
& Leftrightarrow {left( {x' + 1} ight)^2} + {left( {y' - 3} ight)^2} = 9 cr} )

Do đó (C') có phương trình ({left( {x + 1} ight)^2} + {left( {y - 3} ight)^2} = 9)