Bài 1.4 trang 100 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)

Chứng minh các bất đẳng thức sau (n ∈ N*)

a) ({2^{n + 2}} > 2n + 5{ m{ }});

b) ({sin ^{2n}}alpha  + {cos ^{2n}}alpha  le 1)    

Giải:

a)      Với n = 1 thì ({2^{1 + 2}} = 8 > 7 = 2.1 + 5)

Giả sử bất đẳng thức đúng với (n = k ge 1) tức là ({2^{k + 2}} > 2k + 5,,,(1))

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1, tức là ({2^{k + 3}} > 2left( {k + 1} ight) + 5) hay ({2^{k + 3}} > 2k + 7,,,left( 2 ight)) 

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

({2^{k + 3}} > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3) 

Vì (2k + 3 > 0) nên ({2^{k + 3}} > 2k + 7left( {đpcm} ight))

b)      Với n = 1 thì ({sin ^2}alpha  + {cos ^2}alpha  = 1) bất đẳng thức đúng.

Giả sử đã có ({sin ^{2k}}alpha  + {cos ^{2k}}alpha  le 1) với (k ge 1), ta phải chứng minh

({sin ^{2k + 2}}alpha  + {cos ^{2k + 2}}alpha  le 1). 

Thật vậy, ta có:

({sin ^{2k + 2}}alpha  + {cos ^{2k + 2}}alpha)

( = {sin ^{2k}}alpha .{sin ^2}alpha  + {cos ^{2k}}alpha .{cos ^2}alpha  le {sin ^{2k}}alpha  + {cos ^{2k}}alpha  le 1)