Bài 1.38 trang 40 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là một hình thang cân.

Qua tâm G của tam giác đều ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N, kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và AB tại Q, đồng thời góc giữa a và b bằng 60°. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là một hình thang cân.

Giải:

Gọi ({Q_{left( {G;{{120}^0}} ight)}}) là phép quay tâm G góc (120^0). Phép quay này biến b thành a, biến CA thành AB; do đó nó biến P thành N.

Tương tự ({Q_{left( {G;{{120}^0}} ight)}}) cũng biến Q thành M. Từ đó suy ra (GP = GN,GQ = GM). Do đó hai tam giác GNQ và GPM bằng nhau, suy ra NQ = PM. Vì ({Q_{left( {G;{{120}^0}} ight)}}) biến PQ thành NM nên (PQ = NM). Từ đó suy ra hai tam giác (NQM) và (PMQ) bằng nhau. Do đó (widehat {NQM} = widehat {PMQ}). Tương tự (widehat {QNP} = widehat {MPN}).

Từ đó suy ra (widehat {PNQ} + widehat {NQM} = {180^0})

Do đó (NPparallel QM). Vậy ta có tứ giác (MPNQ) là hình thang cân.

Sachbaitap.com