Bài 1.2 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* ) ...
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )
Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )
a) ({1^2} + {3^2} + {5^2} + ... + {left( {2n - 1} ight)^2} = {{nleft( {4{n^2} - 1} ight)} over 3};)
b) ({1^3} + {2^3} + {3^3} + ... + {n^3} = {{{n^2}{{left( {n + 1} ight)}^2}} over 4})
Giải:
a) Đặt vế trái bằng Sn
Với n = 1 vế trái chỉ có một số hạng bằng 1, vế phải bằng ({{1left( {4.1 - 1} ight)} over 3} = 1)
Giả sử đã có ({S_k} = {{kleft( {4{k^2} - 1} ight)} over 3}) với (k ge 1). Ta phải chứng minh
({S_{k + 1}} = {{left( {k + 1} ight)left[ {4{{left( {k + 1} ight)}^2} - 1} ight]} over 3})
Thật vậy, ta có
(eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + {left[ {2left( {k + 1}
ight) - 1}
ight]^2} = {S_k} + {left( {2k + 1}
ight)^2} cr
& {
m{ = }}{{kleft( {4{k^2} - 1}
ight)} over 3} + {left( {2k + 1}
ight)^2} cr
& = {{left( {2k + 1}
ight)left[ {kleft( {2k - 1}
ight) + 3left( {2k + 1}
ight)}
ight]} over 3} cr
& {
m{ = }}{{left( {k + 1}
ight)left( {2{k^2} + 5k + 3}
ight)} over 3} cr
& = {{left( {k + 1}
ight)left( {2k + 3}
ight)left( {2k + 1}
ight)} over 3} cr
& = {{left( {k + 1}
ight)left[ {4{{left( {k + 1}
ight)}^2} - 1}
ight]} over 3} cr} )
b) Đặt vế trái bằng An
Dễ thấy với n = 1 hệ thức đúng.
Giả sử đã có ({A_k} = {{{k^2}{{left( {k + 1} ight)}^2}} over 4},left( {k ge 1} ight))
Ta có:
(eqalign{
& {A_{k + 1}} = {A_k} + {left( {k + 1}
ight)^3} cr
& = {{{k^2}{{left( {k + 1}
ight)}^2}} over 4} + {left( {k + 1}
ight)^3} cr
& {
m{ = }}{{{{left( {k + 1}
ight)}^2}left( {{k^2} + 4k + 4}
ight)} over 4} cr
& = {{{{left( {k + 1}
ight)}^2}{{left( {k + 2}
ight)}^2}} over 4} cr} )
