Bài 1,2,3,4, 5,6 trang 83,84 hình học 10: Phương trình đường tròn

Bài 1,2,3,4, 5,6 trang 83,84 hình học 10: Phương trình đường tròn

Phương trình đường tròn – Hình 10: Đáp án và hướng dẫn giải bài 1,2 trang 830, bài 3,4,5,6 trang 84 sách giáo khoa.

Bài 1.Tìm tâm và bán kính của các đườngtròn sau:

a)  x²+ y²– 2x – 2y – 2  = 0

b) 16x²+ 16y²+ 16x – 8y – 11  = 0

c) x² + y² – 4x + 6y – 3  = 0.

Đáp án bài 1:

a) Ta có : -2a = -2 => a = 1

-2b = -2 => b = 1  => I(1; 1)

R² = a² + b² – c = 1² + 1² – (-2) = 4  => R = 2

b) Tương tự, ta có : I (-1/2;1/4); R = 1

c)  I(2; -3); R = 4

Bài 2 trang 83.Lập PT đường tròn(C) trong các trường hợp sau:

a) (C)  có tâm I(-2; 3) và đi qua M(2; -3);

b) (C)  có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường  thẳng d : x – 2y + 7 = 0

c) (C)  có đường kính AB với A(1; 1) và B(7; 5)

Giải: a) Ta tìm bán kính R² = IM²   => R²  = IM = (2 + 2)² + (-3 -3²) = 52

PT đường tròn(C): (x +2)² + (y – 3)² =52

b) Bán kính của đườngtròn R = d(I,d) =

PT đường tròn(C) có tâm I và với đường thẳng d;

c) Đường tròn , đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB nên I (4;3)
Bán kính R = IA = √(9+4) = √13. Phtrình đường tròn(C)
(x – 4)² + (y -3)² = 13

Bài 3. Lập phtrình đường tròn đi qua ba điểm:

a) A(1; 2); B(5; 2); C(1; -3)

b) M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)

Giải: a) Sử dụng phương-trình-đường-tròn :  x² – y² – ax – 2by +c = 0

Đg tròn đi qua điểm A(1; 2):

1² + 2² – 2a -4b + c = 0   <=>   2a + 4b – c = 5

Đg tròn đi qua điểm B(5; 2):

5² + 2² – 10a -4b + c = 0   <=>    10a + 4b – c = 29

Đg tròn đi qua điểm C(1; -3):

1² + (-3)² – 2a + 6b + c = 0   <=>    2a – 6b – c = 10

Lấy (2) trừ cho (1) ta được phương trình: 8a = 24    => a = 3

Lấy (3) trừ cho (1) ta được phương trình: -10b = 5   => b = – 0,5

Thế a = 3 ; b = -0.5 vào (1) ta tính được c = -1

Ta được PT đườngtròn đi qua ba điểm A, B, C là :

x² + y² – 6x + y – 1 = 0

Chú ý:

Tâm I(x; y) của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là điểm cách đều ba điểm ấy, hay

IA = IB = IC   =>  IA² = IB² = IC²

Từ đây suy ra x, y là nghiệm của hệ:

Từ đây ta tìm được R và viết được PTrinh đường tròn.

b) Ta tính được I(2; 1), R= 5

Phương-trình-đường-tròn đi qua ba điểm M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2) là:

(x – 2)² + (y – 1)²  = 25     <=>     x² – y² – 4x – 2y – 20 = 0

Bài 4 trang 84 Hình học 10. Lập phương-trình đường-tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm M(2 ; 1)

Đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm I của nó phải cách đều hai trục tọa độ. Đường tròn này lại đi qua điểm M(2 ; 1), mà điểm M này lại là góc phần tư thứ nhất nên tọa độ của tâm I phải là số dương.

x_I= y_I > 0

gọi x_I= y_I = a. Như vậy phương-trình đường-tròn cần tìm là :

(2 – a)² + (1 – a)²  = a²

a²  – 6a + 5 = 0  => a = 1 hoặc a = 5

Từ đây ta được hai đường tròn thỏa mãn điều kiện

+ Với a = 1 => (C₁)   => (x – 1 )² + (y – 1)²  = 1

x² + y² – 2x – 2y + 1 = 0

+ Với a = 1 => (C₂)   => (x – 5 )² + (y – 5)²  = 25

x² + y² – 10x – 10y + 25 = 0

Bài 5. Lập phương trình của đườngtròn tiếp xúc với các trục tọa độ và có tâm ở trên đường thẳng d : 4x – 2y – 8 = 0

Vì đườngtròn cần tìm tiếp xúc với hai trục tọa độ nên các tọa độ x_I ,y_I  của tâm I có thể là x_I = y_I  hoặc x_I = -y_I

Đặt x_I  = a thì ta có hai trường hợp I(a ; a) hoặc I(-a ; a). Ta có hai khả năng:

Vì I nằm trên đường thẳng 4x – 2y – 8 = 0 nên với I(a ; a)  ta có:

4a – 2a – 8 = 0     => a = 4

Đường-tròn cần tìm có tâm I(4; 4) và bán kính R = 4 có phương trình:

(x – 4 )² + (y – 4)²  = 4²

x² + y² – 8x – 8y + 16 = 0

+ Trường hợp I(-a; a):

-4a – 2a – 8 = 0    => a = -4/3

Ta được đường-tròn có phương trình:

Bài 6. Cho đường tròn(C) có phương trình:

x² + y² – 4x + 8y – 5 = 0

a)     Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)

b)    Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1; 0)

c)     Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng  3x – 4y + 5 = 0

Giải bài 6:

a)     Tâm I(2 ; -4), R = 5

b)    Đường  tròn có phương trình:    (x – 2 )² + (y + 4)²  = 25

Thế tọa độ A(-1 ; 0) vào vế trái, ta có :

(-1- 2 )² + (0 + 4)²  = 3² + 4² = 25

Vậy A(-1 ;0) là điểm thuộc đường   tròn.

Áp dụng công thức tiếp tuyến (Xem sgk)

Ta được pt tiếp tuyến với đườngtròn tai A là:

(-1 – 2)(x – 2) + (0 + 4)(y + 4) = 25   <=>   3x – 4y + 3 = 0

Chú ý:

1. Theo tính chất tiếp tuyến với đườngtròn tại 1 điểm thuộc đườngtròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm, ta có thể giải câu này như sau:

Vectơ   IA = (-3; 4)

Tiếp tuyến đi qua A(-1; 0) và nhận →IA làm một vectơ pháp tuyến có phương trình:

-3(x + 1) + 4(y – 0) = 0  ,<=> 3x – 4y + 3 = 0

c) Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng 3x – 4y + 5 = 0 có phương trình là: 4x + 3y + c = 0
d là tiếp tuyến của đường tròn(C) khi d (I,d) = R