Mô tả toán học hệ thống điều khiển liên tục

Phép biến đổi Laplace

1- Định nghĩa

Cho f(t) là hàm xác định với mọi t = 0, biến đổi Laplace của f(t) là:

trong đó: s - là biến phức (biến Laplace) s j = s + ?

- là toán tử biến đổi Laplace

F(s) - là ảnh của hàm f(t) qua phép biến đổi Laplace.

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức định nghĩa (2.1) hội tụ.

2- Tính chất của phép biến đổi Laplace

Tính tuyến tính

Nếu hàm f₁(t) có biến đổi Laplace là và hàm f₂(t) có biến đổi Laplace là thì:

Ảnh của đạo hàm

Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là thì:

trong đó f(0⁺) là điều kiện đầu.

Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:

Ảnh của tích phân Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là thì:

Định lý chậm trễ

Làm trễ hàm f(t) một thời gian là T

Nếu f(t) được làm trễ một khoảng thời gian T, ta có hàm

f(t-T). Khi đó:

Định lý giá trị cuối

Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là thì:

3- Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản

Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào là các tín hiệu cơ bản. Ví dụ như để khảo sát hệ thống điều khiển ổn định hóa tín hiệu vào được chọn là hàm nấc, để khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi tín hiệu vào được chọn là hàm hàm dốc, nhiễu tác động vào hệ thống có thể mô tả bằng hàm dirac. Tín hiệu ra của hệ thống tự động cũng có dạng là tổ hợp của các tín hiệu cơ bản như hàm nấc, hàm mũ, hàm sin, … Do đó trong mục này chúng ta xét biến đổi Laplace của các hàm cơ bản để sử dụng trong việc phân tích và thiết kế hệ thống ở các phần sau.

Hàm xung đơn vị (hàm dirac) (H.2.2a)

Hàm xung đơn vị thường được sử dụng để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống.

Các hàm cơ bản

a) Hàm xung đơn vị; b) Hàm nấc đơn vị; c) Hàm dốc đơn vị

d) Hàm parabol; e) Hàm mũ; f) Hàm sin

Theo định nghĩa:

Hàm nấc đơn vị (H.2.2b)

Trong các hệ thống điều khiển ổn định hóa, tín hiệu vào có dạng hàm nấc đơn vị.

Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace ta có:

Hàm truyền đạt

1- Định nghĩa

Tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tự động

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của mọi hệ thống tuyến tính bất biến liên tục đều có thể mô tả bởi phương trình vi phân hệ số hằng:

trong đó các hệ số và là thông số của hệ thống ; n là bậc của hệ thống. Hệ thống được gọi là hợp thức (proper) nếu n = m, hệ thống được gọi là không hợp thức nếu n < m. Chỉ có các hệ thống hợp thức mới tồn tại trong thực tế.

Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace hai vế phương trình trên ta được:

G(s) gọi là hàm truyền của hệ thống.

Định nghĩa: Hàm truyền của một hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi điều kiện đầu bằng 0.

2- Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh

Trong hệ thống tự động các khâu hiệu chỉnh chính là các bộ điều khiển đơn giản được sử dụng để biến đổi hàm truyền đạt của hệ thống nhằm mục đích tăng tính ổn định, cải thiện đáp ứng và giảm thiểu ảnh hưởng của nhiễu lên chất lượng của hệ thống.

Thường khâu hiệu chỉnh là các mạch điện. Có hai dạng mạch hiệu chỉnh là mạch hiệu chỉnh thụ động và mạch hiệu chỉnh tích cực. Mạch hiệu chỉnh thụ động không có các bộ khuếch đại, độ lợi của các mạch này thường nhỏ hơn hay bằng 1. Ngược lại mạch hiệu chỉnh tích cực có các khâu khuếch đại, độ lợi của các mạch này thường lớn hơn 1. Phần này trình bày hàm truyền một số khâu hiệu chỉnh thường được sử dụng trong thiết kế hệ thống.

Đặc tính của các khâu hiệu chỉnh này sẽ được phân tích ở các chương sau.

Khâu hiệu chỉnh thụ động:

Các khâu hiệu chỉnh thụ động

a) Khâu tích phân bậc một; b) Khâu vi phân bậc một

c) Khâu sớm pha; d) Khâu trễ pha

Khâu hiệu chỉnh tích cực :

Các khâu hiệu chỉnh tích cực

a) Khâu tỉ lệ; b) Khâu tích phân tỉ lệ PI

c) Khâu vi phân tỉ lệ; d) Khâu vi tích phân tỉ lệ PID

Sơ đồ khối

Ở mục 2.2.2 chúng ta đã dẫn ra được hàm truyền của các phần tử cơ bản trong hệ thống điều khiển. Trong thực tế các hệ thống thường gồm nhiều phần tử cơ bản kết nối với nhau. Một cách đơn giản nhưng rất hiệu quả trong việc biểu diễn các hệ thống phức tạp là dùng sơ đồ khối.

Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của các phần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống. Sơ đồ khối gồm có ba thành phần là khối chức năng, bộ tổng và điểm rẽ nhánh.

- Khối chức năng: Tín hiệu ra của khối chức năng bằng tích tín hiệu vào và hàm truyền

- Điểm rẽ nhánh: Tại điểm rẽ nhánh mọi tín hiệu đều bằng nhau.

- Bộ tổng: Tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng đại số của các tín hiệu vào.

Các thành phần cơ bản của sơ đồ khối

a) Khối chức năng; b) Điểm rẽ nhánh; c) Bộ tổng

Sơ đồ dòng tín hiệu và công thức Mason

1- Định nghĩa

Để biểu diễn hệ thống tự động, ngoài phương pháp sử dụng sơ đồ khối, ta còn có thể sử dụng phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu. Hãy so sánh hai hình vẽ dưới đây, hình 2.14b là sơ đồ dòng tín hiệu của hệ thống có sơ đồ khối như hình 2.7a.

Biểu diễn hệ thống bằng sơ đồ dòng tín hiệu

a) Sơ đồ khối; b) Sơ đồ dòng tín hiệu

Định nghĩa

Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh.

- Nút: một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống.

- Nhánh: đường nối trực tiếp hai nút, trên mỗi nhánh có mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở hai nút.

- Nút nguồn: nút chỉ có các nhánh hướng ra.

- Nút đích: nút chỉ có các nhánh hướng vào.

- Nút hỗn hợp: nút có cả các nhánh ra và các nhánh vào.

Tại nút hỗn hợp, tất cả các tín hiệu ra đều bằng nhau và bằng tổng đại số của các tín hiệu vào.

- Đường tiến: đường gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu đi từ nút nguồn đến nút đích và chỉ qua mỗi nút một lần.

- Độ lợi của một đường tiến: tích của các hàm truyền của các nhánh trên đường tiến đó.

- Vòng kín: đường khép kín gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín hiệu và chỉ qua mỗi nút một lần.

- Độ lợi của một vòng kín: tích của các hàm truyền của các nhánh trên vòng kín đó.

2- Công thức Mason

Hàm truyền tương đương của hệ thống tự động biểu diễn bằng sơ đồ dòng tín hiệu có thể tính theo công thức:

trong đó:

- độ lợi của đường tiến thứ k

• - định thức của sơ đồ dòng tín hiệu:

- tổng độ lợi vòng của các vòng kín có trong sơ đồ dòng tín hiệu.

- tổng các tích độ lợi vòng của hai vòng không dính nhau.

- tổng các tích độ lợi vòng của ba vòng không dính nhau.

• - định thức con của sơ đồ dòng tín hiệu. được suy ra từ Δ bằng cách bỏ đi các vòng kín có dính tới đường tiến Pk..

Chú ý: * “không dính” = không có nút nào chung.

* “dính” = có ít nhất nút chung.

Khái niệm

Như đã trình bày ở đầu chương này, quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của hệ thống liên tục bất kỳ có thể mô tả bằng phương trình vi phân bậc n. Nghiên cứu hệ thống dựa trên phương trình vi phân bậc n rất khó khăn, do đó cần mô tả toán học khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống dễ dàng hơn. Phương pháp hàm truyền chuyển quan hệ phương trình vi phân cấp n thành phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace. Nghiên cứu hệ thống mô tả bằng hàm truyền thuận lợi hơn bằng phương trình vi phân, tuy nhiên hàm truyền có một số khuyết điểm sau:

- Chỉ áp dụng được khi điều kiện đầu bằng 0.

- Chỉ áp dụng được cho hệ thống tuyến tính bất biến, không thể áp dụng để mô tả hệ phi tuyến hay hệ biến đổi theo thời gian.

- Nghiên cứu hệ thống trong miền tần số.

Một phương pháp khác được sử dụng để khảo sát hệ thống tư động là phương pháp không trạng thái. Phương pháp không gian trạng thái chuyển phương trình vi phân bậc n thành n phương trình vi phân bậc nhất bằng cách đặt n biến trạng thái. Phương pháp không gian trạng thái khắc phục được các khuyết điểm của phương pháp hàm truyền.

Trạng thái của hệ thống, hệ phương trình biến trạng thái

Trạng thái

Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm to và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t = t_o, ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t = t_o.

Hệ thống bậc n có n biến trạng thái. Các biến trạng thái có thể chọn là biến vật lý hoặc không phải là biến vật lý. Ví dụ động cơ DC là hệ bậc hai, có hai biến trạng thái có thể chọn là tốc độ động cơ và dòng điện phần ứng (biến vật lý). Tuy nhiên ta cũng có thể chọn hai biến trạng thái khác.

Phương pháp mô tả hệ thống bằng cách sử dụng các biến trạng thái gọi là phương pháp không gian trạng thái.

Véctơ trạng thái

n biến trạng thái hợp thành véctơ cột gọi là vectơ trạng thái, ký hiệu:

Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển phương trình vi phân bậc n mô tả hệ thống thành hệ n phương trình vi phân bậc nhất viết dưới dạng ma trận như sau:

trong đó:

Phương trình (2.17) được gọi là phương trình trạng thái của hệ thống. Nếu A là ma trận thường, ta gọi (2.172) là hệ phương trình trạng thái ở dạng thường; nếu A là ma trận chéo, ta gọi (2.17) là hệ phương trình trạng thái ở dạng chính tắc.

Đối với các hệ thống hợp thức chặt (bậc tử số hàm truyền nhỏ hơn bậc mẫu số) thì D = 0.

Hệ thống mô tả bởi hệ phương trình trạng thái (2.17) có thể biểu diễn dưới dạng sơ đồ trạng thái như sau:

Sơ đồ trạng thái của hệ thống