Lý thuyết giá trị lượng giác của một cung

Lý thuyết giá trị lượng giác của một cung

1. Định nghĩa

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung (overparen{PQ}) có số đo (sđoverparen{PQ}= α) thì:

+ Tung độ của (M) gọi là (sin) của (α), kí hiệu (sin α): (overline {OQ}= sinα)

+ Hoành độ của (M) gọi là cosin của (α), kí hiệu là (cosα): (overline {OP}= cosα)

+ Nếu (cosα e 0), ta gọi là tang của (α), kí hiệu (tanα) là tỉ số: ({{sin alpha } over {cosalpha }} = an alpha )

+ Nếu (sinα e 0), ta gọi là cotang của (α), kí hiệu là: ({{{ m{cos}}alpha } over {sin alpha }} = cot alpha )

Ghi chú: Vì (sđoverparen{AM} =sđoverparen{(OA, OM)}) nên định nghĩa các giá trị lượng giác của cung lượng giác (α) cũng là giá trị lượng giác của góc lượng giác (α).

2. Hệ quả

a) (-1 ≤ sinα ≤ 1, -1 ≤ cosα ≤ 1 ;∀α inmathbb R) 

(sin(α + k2π) = sinα ;∀k in mathbb R)

(cos(α + k2π) = cosα ,∀k inmathbb R)

b) (tanα) xác định với mọi (α e {piover 2} + kπ, k inmathbb Z)

(cotα) xác định với mọi (α e kπ, k inmathbb Z)

                (tan(α + kπ) = tanα ,∀kinmathbb R)

               ( cot(α + kπ) = cotα ,∀k inmathbb R)

c) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

d) Các hệ thức lượng giác cơ bản:

(si{n^2}alpha { m{ }} + { m{ }}co{s^2}alpha { m{ }} = { m{ }}1);                 (tanα.cotα = 1)

(1 + { an ^2}alpha  = {1 over {{ m{co}}{{ m{s}}^2}alpha }})      :(1 + {cot ^2}alpha  = {1 over {{{sin }^2}alpha }})

3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) Cung đối nhau: (α) và ((-α))

(sin(-α) = -sinα )                   (  tan(-α) = -tanα)

(cos(-α) = cosα)                       (cot(-α) = -cotα)

b) Cung bù nhau: (α) và (π - α)

(sin(π - α) = sinα)                         (tan(π - α) = -tanα)

(cos(π - α) = -cosα)                            (cot(π - α) = -cotα)

c) Cung hơn nhau (π): (α) và (π + α) 

(sin(π + α) = -sinα)                   (tan(π + α) = tanα)

(cos(π + α) = -cosα)                 (cot(π + α) = cotα)

d) Cung phụ nhau: (α) và ({pi  over 2} - alpha )

(sinleft( {{pi  over 2} - alpha } ight) = cosα)                                (tanleft( {{pi  over 2} - alpha } ight)= cosα)

(cos left( {{pi  over 2} - alpha } ight) = sinα  )                              (cos=left( {{pi  over 2} - alpha } ight) = tan α)

soanbailop6.com