Câu 5 trang 93 SGK Hình học 10

Câu 5 trang 93 SGK Hình học 10

Cho ba điểm A(4, 3), B(2, 7), C(-3, -8)

Bài 5. Cho ba điểm (A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8))

a) Tìm tọa độ điểm (G) , trực tâm (H) của tam giác (ABC).

b) Tìm (T) là trực tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC). Chứng minh (T, G, H) thẳng hàng.

c) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC).

Trả lời:

Ta có:

(eqalign{
& {x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} over 3} Rightarrow {x_G} = {{4 + 2 - 3} over 3} = 1 cr
& {y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} over 3} Rightarrow {y_G} = {{3 + 7 - 8} over 3} = {2 over 3} cr} )

Vậy (Gleft(1,{2 over 3} ight))

Gọi ((x; y)) là tọa độ của (H)

(eqalign{
& overrightarrow {AH} = (x - 4,y - 3);overrightarrow {BC} = ( - 5, - 15) cr
& overrightarrow {BH} = (x - 2,y - 7);overrightarrow {AC} = ( - 7, - 11) cr
& overrightarrow {AH} ot overrightarrow {BC} Leftrightarrow overrightarrow {AH} .overrightarrow {BC} = 0 cr
& Leftrightarrow - 5(x - 4) - 15(y - 3) = 0 Leftrightarrow x + y - 13 = 0 cr
& overrightarrow {BH} ot overrightarrow {AC} Leftrightarrow overrightarrow {BH} .overrightarrow {AC} = 0 cr
& Leftrightarrow - 7(x - 2) - 11(y - 7) = 0 Leftrightarrow 7x + 11y - 91 = 0 cr} )

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ matrix{
x + y - 13 = 0 hfill cr
7x + 11y - 91 = 0 hfill cr} ight. Rightarrow H(13;0))

b) Tâm (T) của đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC) thỏa mãn điều kiện

(TA = TB = TC ⇒ TA^2= TB^2= TC^2), cho ta:

({left( {x{ m{ }}-{ m{ }}4} ight)^2} +{left( {y-3} ight)^2} = { m{ }}{left( {x{ m{ }}-{ m{ }}2} ight)^2} + {left( {y{ m{ }}-{ m{ }}7} ight)^2} Leftrightarrow { m{ }}x{ m{ }}-{ m{ }}2y{ m{ }} + { m{ }}7 =0)

({left( {x{ m{ }}-{ m{ }}4} ight)^2} +{left( {y-3} ight)^2} = { m{ }}{left( {x{ m{ }} + { m{ }}3} ight)^2} + { m{ }}{left( {y +8} ight)^2} Leftrightarrow { m{ }}7x{ m{ }} + 11y +24 = 0)

Do đó tọa độ tâm (T) của đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC) là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{
x - 2y + 7 = 0 hfill cr
7x + 11y + 24 = 0 hfill cr} ight. Rightarrow T( - 5;1))

Ta có: (overrightarrow {TH}  = ( - 18;1);overrightarrow {TG}  = (6;{-1 over 3}))

Ta có: (overrightarrow {TH}  = {3}overrightarrow {TG} )

Vậy ba điểm (H, G, T) thẳng hàng.

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC) có tâm (T(-5; 1)), bán kính (R = AT = sqrt{85})

({R^2} = A{T^2} = {left( { - 5-{ m{ }}4} ight)^2} + { m{ }}{left( {1-3} ight)^2} = 85)

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC) là:

((x + 5)^2+ (y – 1)^2= 85)

soanbailop6.com