Câu 3 trang 99 SGK Hình học 10

Câu 3 trang 99 SGK Hình học 10

Cho tam giác đều ABC cạnh a

Bài 3. Cho tam giác đều (ABC) cạnh (a)

a) Cho (M) là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC). Tính (MA^2+ MB^2+ MC^2) theo (a)

b) Cho đường thẳng (a) tùy ý, tìm điểm (N) trên đường thẳng (d) sao cho (NA^2+ NB^2 + NC^2) nhỏ nhất

Trả lời:

 

a) Ta có:

(eqalign{
& overrightarrow {MA} = overrightarrow {OA} - overrightarrow {OM} cr
& {overrightarrow {MA} ^2} = {(overrightarrow {OA} - overrightarrow {OM} )^2} = {overrightarrow {OA} ^2} + {overrightarrow {OM} ^2} - 2overrightarrow {OA} .overrightarrow {OM} cr
& Rightarrow {overrightarrow {MA} ^2} = 2{R^2} - 2overrightarrow {OA} .overrightarrow {OM} (1) cr} )

Tương tự ta có:

(eqalign{
& M{B^2} = {overrightarrow {MB} ^2} = 2{R^2} - 2overrightarrow {OB} .overrightarrow {OM} (2) cr
& M{C^2} = {overrightarrow {MC} ^2} = 2{R^2} - 2overrightarrow {OC.} overrightarrow {OM} (3) cr} )

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

 (M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 6{R^2} - 2overrightarrow {OM} (overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OC} ))

Tam giác (ABC) là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm (O) nên (O) cũng là trọng tâm của tam giác (ABC), cho ta (overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OB}  + overrightarrow {OC} = overrightarrow  0)

Vậy (M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 6{R^2} )

Vì đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh (a) nên ta có:

(a = Rsqrt3   ⇒ 6R^2= 2(Rsqrt3)^2)

Vậy  (M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}  = 2a^2)

b) Gọi (G) là trọng tâm của tam giác ta có:

(eqalign{
& overrightarrow {NA} = overrightarrow {NG} + overrightarrow {GA} cr
& Rightarrow {overrightarrow {NA} ^2} = {overrightarrow {GA} ^2} + 2overrightarrow {NG} .overrightarrow {GA} + {overrightarrow {GA} ^2} cr} )

Tương tự ta có:

(eqalign{
& {overrightarrow {NB} ^2} = {overrightarrow {NG} ^2} + 2overrightarrow {NG} .overrightarrow {GB} + {overrightarrow {GB} ^2} cr
& {overrightarrow {NC} ^2} = {overrightarrow {NG} ^2} + 2overrightarrow {NG} .overrightarrow {GC} + {overrightarrow {GC} ^2} cr
& Rightarrow N{A^2} + N{B^2} + N{C^2} = 3N{G^2} + 2overrightarrow {NG} (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} ) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} cr} ) 

Vì (G) là trọng tâm của tam giác

⇒ (overrightarrow {GA}  + overrightarrow {GB}  + overrightarrow {GC}  = overrightarrow 0 )

(eqalign{
& {overrightarrow {GA} ^2} + {overrightarrow {GB} ^2} + {overrightarrow {GC} ^2} = 3G{A^2} = 3.{({2 over 3}.{{asqrt 3 } over 2})^2} = {a^2} cr
& Rightarrow N{A^2} + N{B^2} + N{C^2} = {a^2} + 3N{G^2} cr} )

(a^2) là số không đổi nên tổng (N{A^2} + N{B^2} + N{C^2}) nhỏ nhất khi (NG) đạt giá trị nhỏ nhất. Vì (NG) là khoảng cách từ (G) đến điểm (N) thuộc đường thẳng (d) nên (NG) nhỏ nhất khi (NG⊥d) hay (N) là hình chiếu của trọng tâm (G) trên đường thẳng (d).

soanbailop6.com