Câu 12 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hai đường thẳng ∆, ∆₁ cắt ba mặt phẳng song song (α), (β), (γ) lần lượt tại A, B, C và A₁, B₁, C₁. Với điểm O bất kì trong không gian, đặt (overrightarrow {OI}  = overrightarrow {A{A_1}} ,overrightarrow {OJ}  = overrightarrow {B{B_1}} ,overrightarrow {OK}  = overrightarrow {C{C_1}} ) . Chứng minh rằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Trả lời

Theo giả thiết, ta có:

(overrightarrow {OI}  = overrightarrow {A{A_1}} ,overrightarrow {OJ}  = overrightarrow {B{B_1}} ,overrightarrow {OK}  = overrightarrow {C{C_1}} ) .

Do (α), (β), (γ) song song với  nhau, hai đường thẳng ∆, ∆₁ cắt chúng lần lượt tại A, B, C và A₁, B₁, C₁ nên theo định lí Ta-lét, ta có:

(overrightarrow {BA}  = koverrightarrow {BC} )  và (overrightarrow {{B_1}{A_1}}  = koverrightarrow {{B_1}{C_1}} )

Từ (overrightarrow {BA}  = koverrightarrow {BC} )  nên với điểm O, ta có:

(overrightarrow {OB}  = {{overrightarrow {OA}  - koverrightarrow {OC} } over {1 - k}})

Tương tự, ta cũng có:

(overrightarrow {O{B_1}}  = {{overrightarrow {O{A_1}}  - koverrightarrow {O{C_1}} } over {1 - k}})

Từ đó: (overrightarrow {B{B_1}}  = overrightarrow {O{B_1}}  - overrightarrow {OB}  = {{overrightarrow {A{A_1}} } over {1 - k}} - {k over {1 - k}}overrightarrow {C{C_1}} )

hay (overrightarrow {OJ}  = {1 over {1 - k}}overrightarrow {OI}  - {k over {1 - k}}overrightarrow {OK} )

Lấy O trùng với I, ta có (overrightarrow {IJ}  =  - {k over {1 - k}}overrightarrow {IK} )

Như vậy ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Sachbaitap.com