Câu 2 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA và DC’ sao cho (overrightarrow {MC}  - moverrightarrow {MA} ,,overrightarrow {N{ m{D}}}  = moverrightarrow {NC'} ). Xác định m để các đường thẳng MN và BD’ song song với nhau. Khi ấy, tính MN biết (widehat {ABC} = widehat {ABB'} = widehat {CBB'} = {60^0}) và BA = a, BB’ = b, BC = c.

Trả lời:

 

Xác định m:

Đặt (overrightarrow {BA}  = overrightarrow a ,,overrightarrow {BB}  = overrightarrow b ,,overrightarrow {BC}  = overrightarrow c )  thì (overrightarrow {B{ m{D}}'}  = overrightarrow a  + overrightarrow b  + overrightarrow {c.} )

Do (overrightarrow {MC}  = moverrightarrow {MA} )  nên  (overrightarrow {BM}  = {{overrightarrow {BC}  - moverrightarrow {BA} } over {1 - m}} = {{overrightarrow c  - moverrightarrow a } over {1 - m}})

Tương tự, ta có:

(eqalign{  & overrightarrow {BN}  = {{overrightarrow {B{ m{D}}}  - moverrightarrow {BC'} } over {1 - m}} = {{overrightarrow a  + overrightarrow c  - mleft( {overrightarrow b  + overrightarrow c } ight)} over {1 - m}}  cr  &  = {1 over {1 - m}}overrightarrow a  - {m over {1 - m}}overrightarrow b  + overrightarrow c . cr} )

Từ đó

(eqalign{  & overrightarrow {MN}  = overrightarrow {BN}  - overrightarrow {BM}   cr  &  = {{1 + m} over {1 - m}}overrightarrow a  - {m over {1 - m}}overrightarrow b  - {m over {1 - m}}overrightarrow c . cr} )

Do AC, BD’ chéo nhau và DC’, BD’ chéo nhau nên

(eqalign{  & MN//B{ m{D}}' Leftrightarrow overrightarrow {MN}  = koverrightarrow {B{ m{D}}'}   cr  &  Leftrightarrow overrightarrow {MN}  = koverrightarrow a  + koverrightarrow b  + koverrightarrow c  cr} )

Mặt khác (overrightarrow a ,overrightarrow b ,overrightarrow c ) không đồng phẳng nên điều ấy xảy ra khi và chỉ khi:

(eqalign{  & left{ matrix{  {{1 + m} over {1 - m}} = k hfill cr   - {m over {1 - m}} = k hfill cr   - {m over {1 - m}} = k hfill cr}  ight.  cr  &  Rightarrow 1 + m =  - m Leftrightarrow m =  - {1 over 2} cr} )

Từ đó, ta có (k = {1 over 3})

Vậy (m =  - {1 over 2}) thì MN // BD’.

Tính MN:

Khi ấy (overrightarrow {MN}  = {1 over 3}left( {overrightarrow a  + overrightarrow b  + overrightarrow c } ight))

do đó

({overrightarrow {MN} ^2} )

hay (M{N^2} = {1 over 9}left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + ac + bc} ight))

tức là (MN = {1 over 3}sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca} )

Sachbaitap.com