Bài tập 1 - Trang 112 - SGK Giải tích 12

Bài tập 1 - Trang 112 - SGK Giải tích 12

1. Tính các tích phân sau:

Bài 1. Tính các tích phân sau:

a)(int_{frac{-1}{2}}^{frac{1}{2}}sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx)                    b) (int_{0}^{frac{pi}{2}}sin(frac{pi}{4}-x)dx)

c)(int_{frac{1}{2}}^{2}frac{1}{x(x+1)}dx)                        d) (int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx)

e)(int_{frac{1}{2}}^{2}frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx)                        g) (int_{frac{-pi}{2}}^{frac{pi}{2}}sin3xcos5xdx)

Giải:

a) (int_{frac{-1}{2}}^{frac{1}{2}}sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx) = (-int_{frac{-1}{2}}^{frac{1}{2}}(1-x)^{frac{2}{3}}d(1-x)=-frac{3}{5}(1-x)^{frac{5}{3}}|_{frac{-1}{2}}^{frac{1}{2}})

 = (-frac{3}{5}left [ frac{1}{2sqrt[3]{4}}-frac{3sqrt[3]{9}}{2sqrt[3]{4}} ight ]=frac{3}{10sqrt[3]{4}}(3sqrt[3]{9}-1))

b) (int_{0}^{frac{pi}{2}}sin(frac{pi}{4}-x)dx)=(-int_{0}^{frac{pi}{2}}sin(frac{pi}{4}-x)d(frac{pi}{4}-x)) = (cos(frac{pi}{4}-x)|_{0}^{frac{pi}{2}})

= (cos(frac{pi}{4}-frac{pi}{2})-cosfrac{pi}{4}=0)

c)(int_{frac{1}{2}}^{2}frac{1}{x(x+1)}dx)=(int_{frac{1}{2}}^{2}(frac{1}{x}-frac{1}{x+1})dx =lnleft | frac{x}{x+1} ight ||_{frac{1}{2}}^{2}=ln2)

d)(int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx)= (int_{0}^{2}(x^{3}+2x^{2}+x)dx=(frac{x^{4}}{4}+frac{2}{3}x^{3}+frac{x^{2}}{2})|_{0}^{2})

  = (frac{16}{4}+frac{16}{3}+2= 11 frac{1}{3})

e)(int_{frac{1}{2}}^{2}frac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx)= (int_{frac{1}{2}}^{2}frac{-3(x+1)+4}{(x+1)^{2}}dx=int_{frac{1}{2}}^{2}left [ frac{-3}{x+1}+frac{4}{(x+1)^{2}} ight ]dx)

= (left ( -3.lnleft | x+1 ight |-frac{4}{x+1} ight )|_{frac{1}{2}}^{2}= frac{4}{3}-3ln2)

g)Ta có (f(x) = sin3xcos5x) là hàm số lẻ.

Vì (f(-x) = sin(-3x)cos(-5x))

                 (= -sin3xcos5x = -f(x))

nên:

         (int_{frac{-pi}{2}}^{frac{pi}{2}}sin3xcos5x =0)

Chú ý: Có thể tính trực tiếp bằng cách đặt (x= -t) hoặc biến đổi thành tổng.

soanbailop6.com