Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10

Bài 9. Chứng minh rằng

Bài 9. Chứng minh rằng (overrightarrow{AB}= overrightarrow{CD}) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng (AD)  và (BC) trùng nhau.

Giải

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho  (overrightarrow{AB}) = (overrightarrow{CD}) thì (AD) và (BC) có trung điểm trùng nhau. Gọi (I) là trung điểm của (AD) ta chứng minh (I) cũng là trung điểm của (BC).

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có 

     (overrightarrow{AB}= overrightarrow{AI} + overrightarrow{IB});

      (overrightarrow{CD}= overrightarrow{CI}+ overrightarrow{ID})

Vì (overrightarrow{AB} = overrightarrow{CD}) nên (overrightarrow{AI} + overrightarrow{IB}=  overrightarrow{CI}+ overrightarrow{ID})

                           (Rightarrow overrightarrow{AI} - overrightarrow{ID} = overrightarrow{CI} - overrightarrow{IB})

                           (Rightarrowoverrightarrow{AI} + overrightarrow{DI} = overrightarrow{CI} + overrightarrow{BI})              (1)

Vì (I) là trung điểm của (AD) nên  (overrightarrow{AI} + overrightarrow{DI} = overrightarrow{0})         (2)

Từ (1) và (2) suy ra (overrightarrow{CI} + overrightarrow{BI} = overrightarrow{0})                             (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ (I) là trung điểm của (BC).

b) (AD) và (BC)  có chung trung điểm (I), ta chứng minh (overrightarrow{AB}) = (overrightarrow{CD}).

(I) là trung điểm của (AD) (Rightarrow overrightarrow{AI} + overrightarrow{DI} = overrightarrow{0})   (Rightarrowoverrightarrow{AI} - overrightarrow{ID} =overrightarrow{0})

(I) là trung điểm của (BC)  (Rightarrow overrightarrow{CI} + overrightarrow{BI}= overrightarrow{0})    (Rightarrow overrightarrow{CI} - overrightarrow{IB}= overrightarrow{0})

Suy ra  (overrightarrow{AI} - overrightarrow{ID}=  overrightarrow{CI}- overrightarrow{IB}) 

     (Rightarrow overrightarrow{AI} + overrightarrow{IB} = overrightarrow{CI}+ overrightarrow{ID})    (Rightarrow overrightarrow{AB}= overrightarrow{CD}) (đpcm)

soanbailop6.com