Bài 2.4 trang 163 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho hai hàm số

Cho hai hàm số (y = fleft( x ight)) và (y = gleft( x ight)) cùng xác định trên khoảng (left( { - infty ,a} ight)). Dùng định nghĩa chứng minh rằng, nếu (mathop {lim }limits_{x o  - infty } fleft( x ight) = L) và (mathop {lim }limits_{x o  - infty } gleft( x ight) = M) thì (mathop {lim }limits_{x o  - infty } fleft( x ight).gleft( x ight) = L.M)

Giải :

Giả sử (left( {{x_n}} ight)) là dãy số bất kì thoả mãn ({x_n} < a) và ({x_n} o  - infty )

Vì (mathop {lim }limits_{x o  - infty } fleft( x ight) = L) nên (mathop {lim }limits_{n o  + infty } fleft( {{x_n}} ight) = L)

Vì (mathop {lim }limits_{x o  - infty } gleft( x ight) = M) nên (mathop {lim }limits_{n o  + infty } gleft( {{x_n}} ight) = M)

Do đó, (mathop {lim }limits_{n o  + infty } fleft( {{x_n}} ight).gleft( {{x_n}} ight) = L.M)

Từ định nghĩa suy ra (mathop {lim }limits_{x o  - infty } fleft( x ight).gleft( x ight) = L.M)