Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12

Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian cho ba điểm A, B, C. Xác định điểm G sao cho

Bài 14. Trong không gian cho ba điểm (A, B, C).

a) Xác định điểm (G) sao cho (overrightarrow {GA}  + 2overrightarrow {GB}  - 2overrightarrow {GC}  = 0.)

b) Tìm tập hợp các điểm (M) sao cho (MA^2 + 2MB^2 - 2MC^2 = k^2), với (k) là hằng số.

Giải

a) Ta có

(overrightarrow {GA}  + 2overrightarrow {GB}  - 2overrightarrow {GC}  = overrightarrow {GA}  +2(overrightarrow {GB}  - overrightarrow {GC} ) = overrightarrow {GA}  + 2overrightarrow {CB}  = overrightarrow 0  Leftrightarrow overrightarrow {AG}  = 2overrightarrow {CB} )

Gọi (D) là điểm mà (overrightarrow {CD}  = 2overrightarrow {CB} ) tức là điểm (B) là trung điểm của (CD) thì (G) là đỉnh thứ tư của hình bình hành (ACDG).

b) Gọi (G) là điểm trong câu a): (overrightarrow {GA}  + 2overrightarrow {GB}  - 2overrightarrow {GC}  = overrightarrow 0 ).

Ta có: (M{A^2} = {overrightarrow {MA} ^2}= {(overrightarrow {MG}  + overrightarrow {GA} )^2})

(= M{G^2} + G{A^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GA} );

(M{B^2} = {overrightarrow {MB} ^2} = {(overrightarrow {MG}  + overrightarrow {GB} )^2})

(= M{G^2} + G{B^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GB} );

(M{C^2} = {overrightarrow {MC} ^2} = {(overrightarrow {MG}  + overrightarrow {GC} )^2} )

(= M{G^2} + G{C^2} + 2overrightarrow {MG} .overrightarrow {GC} ).

Từ đó (MA^2 + MB^2 -2 MC^2 = k^2)

( Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2} )

(+ 2overrightarrow {MG} (overrightarrow {GA}  + 2overrightarrow {GB}  - 2overrightarrow {GC} ) = {k^2})

( Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2})) 

vì (overrightarrow {GA}  + 2overrightarrow {GB}  - 2overrightarrow {GC}  = overrightarrow 0 ).

Do vậy:

Nếu (k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 > 0) thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.

Nếu (k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 =0) thì tập hợp M chính là điểm G.

Nếu (k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 < 0) thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.

soanbailop6.com