Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12

Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình 4x + y + 2z + 1 = 0 và mặt phẳng (β) có phương trình 2x - 2y + z + 3 = 0. a) Chứng minh rằng (α) cắt (β).

Bài 16. Trong không gian (Oxyz) cho mặt phẳng ((α)) có phương trình (4x + y + 2z + 1 = 0) và mặt phẳng ((β)) có phương trình (2x - 2y + z + 3 = 0).

a) Chứng minh rằng ((α)) cắt ((β)).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) là giao của ((α)) và ((β)).

c) Tìm điểm (M') đối xứng với điểm (M(4 ; 2 ; 1)) qua mặt phẳng ((α)).

d) Tìm điểm (N') đối xứng với điểm (N(0 ; 2 ; 4)) qua đường thẳng (d).

Giải

a) Mặt phẳng ((α)) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n  = (4; 1; 2))

Mặt phẳng ((β)) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow {n'}  = (2; -2; 1))

Vì ({4 over 2} e {1 over { - 2}} e {2 over 1} Rightarrow overrightarrow n ) và (overrightarrow {n'} ) không cùng phương.

Suy ra ((α)) và ((β)) cắt nhau.

b) ((α)) cắt ((β)) nên (overrightarrow {{n_1}} ) và (overrightarrow {{n_2}} ) có giá vuông góc với đường thẳng (d), vì vậy vectơ (overrightarrow {{u_1}}  = left[ {overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} } ight]= (5; 0; -10)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d).

Ta có thể chọn vectơ (overrightarrow u = (1; 0; -2)) làm vectơ chỉ phương.

Ta tìm một điểm nằm trên (d).

Xét hệ(left{ matrix{
4x + y + 2z + 1 = 0 hfill cr
2x - 2y + z + 3 = 0 hfill cr} ight.)

Lấy điểm (M_0(1; 1; -3) ∈ d). 

Phương trình tham số của (d) là:(left{ matrix{
x = 1 + s hfill cr
y = 1 hfill cr
z = - 3 - 2s hfill cr} ight.)

c) Mặt phẳng ((α)) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n  = (4; 1; 2)).

Đường thẳng (∆) đi qua (M(4; 2; 1)) và vuông góc với ((α)), nhận vectơ (overrightarrow n ) làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số: 

(left{ matrix{
x = 4 + 4t hfill cr
y = 2 + t hfill cr
z = 1 + 2t hfill cr} ight.)

Trước hết ta tìm toạ độ hình chiếu (H) của (M) trên ((α)) bằng cách thay các biểu thức của (x, y, z)  theo (t) vào phương trình của ((α)), ta có:

(4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0)

( Leftrightarrow 21t + 21 = 0 Leftrightarrow t =  - 1)

Từ đây ta tính được (H (0; 1; -1))

Gọi (M' (x; y; z)) là điểm đối xứng với (M) qua mp ((α)) thì (overrightarrow {MM'}  = 2overrightarrow {MH} ):

(overrightarrow {MH} = (-4; -1; -2))

(overrightarrow {MM'} = (x - 4; y - 2; z - 1)). 

(overrightarrow {MM'} = 2overrightarrow {MH} Leftrightarrow left{ matrix{
x - 4 = 2.( - 4) Rightarrow x = - 4 hfill cr
y - 2 = 2.( - 1) Rightarrow y = 0 hfill cr
z - 1 = 2.( - 2) Rightarrow z = - 3 hfill cr} ight.)

(Rightarrow M( - 4;0; - 3))

d) Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương (overrightarrow a  = (1; 0; -2)).

Mặt phẳng ((P)) đi qua (N(0; 2; 4)) và vuông góc với (d), nhận (overrightarrow a ) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

(1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0)

((P)): (x - 2y + 8 = 0)

Ta tìm giao điểm (I) của (d) và ((P)). Ta có:

(t - 2(-1 - 2t) + 8 = 0)( Leftrightarrow  5t + 10 = 0Leftrightarrow  t = -2)

( Leftrightarrow I( -2; 1; 3))

(N' (x; y; z)) là điểm đối xứng của (N) qua (d) thì (overrightarrow {NN'}  = 2overrightarrow {NI} )

(overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)), (overrightarrow {NN'}  = (x; y - 2; z - 4) )

( Rightarrow left{ matrix{
x = ( - 2).2 hfill cr
y - 2 = ( - 1).2 hfill cr
z - 4 = ( - 1).2 hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
x = - 4 hfill cr
y = 0 hfill cr
z = 2 hfill cr} ight.)

(Rightarrow N'( - 4;0;2))

soanbailop6.com