Bài 1,2,3,4 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11: Quy tắc đếm

Bài 1,2,3,4 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11: Quy tắc đếm

Tóm tắt kiến thức Quy tắc đếm và hướng dẫn Giải bài 1,2,3,4 trang 46 SGK Đại số và Giải tích 11: Quy tắc đếm – Chương 2: Tổ hợp – xác suất.

A. Tóm tắt kiến thức Quy tắc đếm:

Đóng vai trò quan trọng trong Đại số tổ hợp và trong nhiều ứng dụng của nó là quy tắc cộng và quy tắc nhân. Trong thực hành ứng dụng, hai quy tắc này thường được phát biều như sau:

1. Quy tắc cộng:

Giả sử để hoàn thành một công việc, phải thực hiện một hành động trong k hành động loại trừ nhau từng đôi một. Và giả sử  có:

n₁ cách để thực hiện hành động thứ nhất,

n₂ cách để thực hiện hành động thứ hai,

…

n_k cách để thực hiện hành động thứ k.

Khi đó ta có: Số cách để hoàn thành công việc kể trên là n₁ + n₂ + …+ n_k .

2. Quy tắc nhân:

2.1 Quy tắc nhân:

Giả sử để hoàn thành một công việc, phải thực hiện liên tiếp k hành động (sau khi kết thúc hành động này thì thực hiện tiếp hành động khác). Và giả sử có:

n₁ cách để thực hiện hành động thứ nhất,

n₂ cách để thực hiện hành động thứ hai,

…

n_k cách để thực hiện hành động thứ k.

Khi đó ta có: Số cách để hoàn thành công việc kể trên là n₁ . n₂ … n_k .

2.2 Chú ý:

Khi vận dụng quy tắc nhân, nên thực hiện theo những lời khuyền sau đây:

a) Nếu có hành động nào đặc biệt hơn các hành động khác thì nên thực hiện hành động khác thì thực hiện hành động nào trước cũng được.

b) Khi có nhiều hành động đặc biệt cần thực hiện trước, thì nên lựa chọn thứ tự thực hiện những hành động này để tìm ra được lời giải đơn giản nhất có thể được.

Nếu không thực hiện theo những lời khuyên ở trên thì vẫn giải được, nhưng lời giải sẽ phức tạp hơn và do đó sẽ khó hiểu hơn.

B.Hướng dẫn giải bài tập Toán đại số giải tích 11 trang 46 – Quy tắc đếm:

Bài 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số ?        b) Hai chứ số ?     c) Hai chữ số khác nhau ?

Giải: a) Đặt A= {1,2,3,4}. Gọi số có 1 chữ số là ¯a. a có 4 cách chọn. Vậy có 4 cách chọn số một chữ số.

b) Số tự nhiên cần lập có dạng ¯ab, với a, b ∈ {1, 2, 3, 4} có kể đến thứ tự.

Để lập được số tự nhiên này, phải thực hiện liên tiếp hai hành động sau đây:

Hành động 1: Chọn chữ số a ở hàng chục. Có 4 cách để thực hiện hành động này

Hành động 2: Chọn chữ số b ở hàng đơn vị. Có 4 cách để thực hiện hành động này.

Theo quy tắc nhân suy ra số các cách để lập được số tự nhiên kể trên là

4 . 4 = 16 (cách).

Qua trên suy ra từ các chữ số đã cho có thể lập được 16 số tự nhiên có hai chữ số.

c) Số tự nhiên cần lập có dạng ¯ab , với a, b ∈ {1, 2, 3, 4} và a, b phải khác nhau, có kể đến thứ tự.

Để lập được số tự nhiên này, phải thực hiện liên tiếp hai hành động sau đây:

Hành động 1: Chọn chữ số a ở hàng chục.

Có 4 cách để thực hiện hành động này.

Hành động 2: Chọn chữ số b ở hàng đơn vị, với b khác chữ số a đã chọn.

Có 3 cách để thực hiện hành động này.

Theo quy tắc nhân suy ra từ các cách để lập được số tự nhiên kể trên là:

4 . 3 = 12 (cách).

Qua trên suy ra từ các chữ số đã cho có thể lập được 12 số tự nhiên có hai chữ số khác nhau.

Bài 2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100 ?

Mỗi số tự nhiên cần lập là số tự nhiên có không quá 2 chữ số, được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Để lập được số tự nhiên như vậy, phải thực hiện một hành động trong hai hành động loại trừ nhau sau đây:

Hành động 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên có một chữ số.

Có 6 cách để thực hiện hành động này.

Hành động 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên có hai chữ số.

Vận dụng quy tắc nhân, ta tìm được: Có 6² = 36 cách để thực hiện hành động này.

Theo quy tắc cộng suy ra số các cách để lập được các số tự nhiên kể trên là

6 + 36 = 42 (cách).

Qua trên suy ra từ các chữ số đã cho có thể lập được 42 số tự nhiên bé hơn 100.

Bài 3. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình 26. Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần ?

b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rồi quay lại A ?

Giải: a) Để đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần, phải thực hiện liên tiếp ba hành động sau đây:

Hành động 1: Đi từ A đến
B.Có 4 cách để thực hiện hành động này.

Hành động 2: Đi từ B đến
C.Có 2 cách để thực hiện hành động này.

Hành động 3: Đi từ C đến
D.Có 3 cách để thực hiện hành động này.

Theo quy tắc nhân suy ra số các cách để đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần là 4 . 2 . 3 = 24 (cách).

b) ĐS: Số các cách để đi từ A đến D (mà qua B và C chỉ một lần), rồi quay lại A (mà qua C và B chỉ một lần) là:

(4 . 2 . 3) . (3 . 2 . 4) = 24² = 576 (cách).

Bài 4. Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da,, vải và nhựa). Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây ?

Giải: – Có 3 kiểu mặt đồng hồ nên có 3 các chọn

– có 4 kiểu dây nên có 4 cách chọn.

Vậy số cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây là 3.4 =12 (cách)