Xây dựng đa thức nội suy

Ký hiêu L_n(x) là đa thức nội suy cần tìm. Lagrange chọn đa thức này dưới dạng:

trong đó Lnk(x) size 12{L rSub { size 8{n} } rSup { size 8{k} } ` ( x ) } {} (k=0;n) là (n+1) đa thức bậc n có n nghiệm x = x<sub>i</sub> (với i≠k) và Lnk(xk)=1 size 12{L rSub { size 8{n} } rSup { size 8{k} } ` ( x rSub { size 8{k} } ) `=1} {};

Dễ thấy:

Hay ta có đa thức nội suy cần tìm.

Ví dụ 1. Giả sử với hàm y=f(x) ta đo được tại x₀ và x₁ tương ứng là y₀= f(x₀) và y₁ =f(x₁) thì:

ta được:

Đây chính là đường thẳng đi qua 2 điểm (x₀,y₀) và (x₁,y₁).

Ví dụ 2: Hàm y=f(x) đo được tại 4 điểm như sau.

Vì y₁=0 nên không cần tính L31(x) size 12{L rSub { size 8{3} } rSup { size 8{1} } ` ( x ) } {}.

Vậy

L 3 ( x ) = y 0 L 3 0 ( x ) + y 2 L 3 2 ( x ) + y 3 L 3 3 ( x ) = 125 3 x 3 − 30 x 2 + 73 12 x − 0,5 size 12{L rSub { size 8{3} } ( x ) `=`y rSub { size 8{0} } `L rSub { size 8{3} } rSup { size 8{0} } ( x ) `+y rSub { size 8{2} } L rSub { size 8{3} } rSup { size 8{2} } ( x ) `+`y rSub { size 8{3} } L rSub { size 8{3} } rSup { size 8{3} } ( x ) `=` { {"125"} over {3} } x rSup { size 8{3} } ` - `"30"`x rSup { size 8{2} } `+` { {"73"} over {"12"} } x` - 0,5} {}

là đa thức nội suy cần tìm.