25/05/2018, 10:27

Tần số phức

Chương này xét đến đáp ứng ép của mạch với kích thích là tín hiệu hình sin có biên độ thay đổi theo hàm mũ. Các tín hiệu đã đề cập đến trước đây (DC, sin, mũ . . .) thật ra là các trường hợp đặc biệt của tín hiệu này, vì vậy, đây là bài toán tổng quát nhất ...

Chương này xét đến đáp ứng ép của mạch với kích thích là tín hiệu hình sin có biên độ thay đổi theo hàm mũ. Các tín hiệu đã đề cập đến trước đây (DC, sin, mũ . . .) thật ra là các trường hợp đặc biệt của tín hiệu này, vì vậy, đây là bài toán tổng quát nhất và kết quả có thể được áp dụng để giải các bài toán với các tín hiệu vào khác nhau.

Chúng ta cũng sẽ nghiên cứu kỹ hơn về hàm số mạch, nhờ khái niệm cực và zero, để thấy vai trò quan trọng của nó trong việc xác định đáp ứng của mạch.

Tín hiệu xác định bởi

v(t)= Ve^σ^tcos(ωt+ϕ) (7.1)

Đây là tích của hàm sin Vcos(ωt+ϕ) và hàm mũ e^σ^t. σ là số thực, có thể dương hoặc âm. Tùy theo giá trị của ω và σ, ta có các trường hợp sau:

* σ=0, ω=0 v(t) = Vcosϕ =V_O là tín hiệu DC

* σ=0, ω≠0 v(t) = Vcos(ωt+ϕ) là tín hiệu hình sin có biên độ không đổi

* σ<0, ω≠0 v(t) = Ve^σ^t cos(ωt+ϕ) là tín hiệu hình sin có biên độ giảm dần

* σ>0, ω≠0 v(t) = Ve^σ^t cos(ωt+ϕ) là tín hiệu hình sin có biên độ tăng dần

* σ<0, ω=0 v(t) = V_O e^σ^t là tín hiệu mũ có biên độ giảm dần

* σ>0, ω=0 v(t) = V_O e^σ^t là tín hiệu mũ có biên độ tăng dần

Nhắc lại đơn vị của ω là rad/s, ϕ là radian hay độ. σ có đơn vị là 1/s(s^-1).

σ có quan hệ với tần số tự nhiên , σt có đơn vị là Neper (Np) và ta gọi σ là tần số Neper với đơn vị Np/s.

Thí dụ 7.1

Tìm đáp ứng ép i(t) của mạch (H 7.2). Cho v(t)=25e^-tcos2t

Vậy i(t)= e^-t(3cos2t+4sin2t)

Hay i(t)= 5e^-t(cos2t-53,1^o)

Như vậy đáp ứng ép đối với tín hiệu hình sin có biên độ giảm dần cũng là tín hiệu hình sin có biên độ giảm dần.

Thí dụ 7.2

Tìm đáp ứng ép v_O(t) của mạch (H 7.3). Cho i(t)=e^-tcost

Với các kết quả có được khi mở rộng khái niệm vectơ pha trong đó jω đã được thay thế bởi s=σ +jω, ta có thể mở rộng khái niệm tổng trở và tổng dẫn phức.

Trong lãnh vực tần số phức (gọi tắt là lãnh vực s) Các đại lượng được ký hiệu với chữ s để phân biệt với trường hợp khác

Đến đây chắc chúng ta thấy ngay một điều hiển nhiên là tất cả các định luật và định lý mạch điện cũng như các phương trình vòng, nút . . . đều áp dụng được trong lãnh vực tần số.

Thí dụ 7.3

Giải lại Thí dụ 7. 1 bằng cách dùng tổng trở phức.

Thí dụ 7.4

Tìm đáp ứng ép v_O(t) của mạch (H 7.5). Cho v_g(t)=e^-2tcos4t (V)

Thí dụ 7.5

Hàm số mạch H(s) trở thành

Cực và Zero của hàm số mạch

Khái niệm hàm số mạch được mở rộng cho lãnh vực tần số và nó vẫn được xác định như trước đây (chương 5)

Biểu diễn trên mặt phẳng s, với trục thưc σ và trục ảo jω

Zero được ký hiệu bởi vòng tròn nhỏ (o) và Cực bởi dấu (x)

Thí dụ 7.6

Vẽ giản đồ Cực và Zero của hàm số mạch

Như vậy, trong thí dụ 7.6 ta phải kể thêm một Zero ở vô cực

Thí dụ 7.7

Xác định đáp ứng tự nhiên từ hàm số mạch

Nhắc lại, phương trình vi phân tổng quát của mạch điện là:

* Nghiệm của phương trình đặc trưng chính là nghiệm của D(s)=0, chính là các Cực của H(s) (Kể cả các cực đã đơn giản với Zero, nếu có)

* Vậy khi biết Cực của H(s) ta có ngay dạng của đáp ứng tự nhiên.

Và tính chất của đáp ứng tự nhiên có thể được phát biểu dựa trên vị trí của các Cực của H(s) trên mặt phẳng phức.

Hàm ngã vào và hàm truyền (Driving point & Transfer function)

Hàm ngã vào

* Đối với một lưỡng cực, Z(s)=1/Y(s) nên Cực của hàm này là Zero của hàm kia nên đáp ứng tự nhiên có thể xác định bởi Cực hay Zero.

* Một mạch không chứa nguồn phụ thuộc thì luôn luôn ổn đinh nên Cực (hoặc Zero) của Z(s) nằm ở 1/2 mp trái hở và chỉ những Cực bậc nhất mới nằm trên trục ảo.

* Một mạch có chứa nguồn phụ thuộc thì điều kiện ổn đinh tùy thuộc giá trị của nguồn này.

Thí dụ 7.8

Tìm tổng trở vào của mạch và điều kiện của g_m để mạch ổn định khi mạch được kích thích bởi một nguồn dòng điện (H 7.11a)