Phương pháp dây cung

Giả sử [a, b] là khoảng nghiệm phương trình f(x)=0. Gọi A, B là 2 điểm trên đồ thị f(x) có hoành độ tương ứng là a, b. Phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(a,f(a)), B(b, f(b)) có dạng:

Dây cung AB cắt trục x tại điểm có toạ độ (x1, 0) f(a)*f(x1) <0, thay b=x1 ta có khoảng nghiệm mới là (a, x1) Nếu f(b)*f(x1) <0, thay a=x1 ta có khoảng nghiệm mới là (x1, b)

Tiếp tục áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng nghiệm mới ta được giá trị x2. Lại tiếp tục như thế ta nhận được các giá trị x3, x4, … càng tiến gần với giá trị nghiệm phương trình.

Chọn xấp xỉ ban đầu x₀ = b

Gọi N0 là điểm có tọa độ (b, f(b)); xấp xỉ bậc 1 của nghiệm được chọn là hoành độ của giao điểm của dây cung MN0 với trục hoành Ox.

Giả giử xk là xấp xỉ bậc k. Ta lập công thức tính xấp xỉ bậc k+1. Tức là ta tìm hoành độ giao điểm của dây cung MNk với trục hoành Ox. Vậy ở mỗi bước ta xấp xỉ cung MNk với dây cung MNk (nên có tên là phương pháp dây cung).

Phương trình đường thẳng qua M và Nk là

Cho y= 0 ta tìm hoành độ xk+1 của giao điểm của MNk với Ox:

Tương tự như vậy, nếu f’’(x)>0 và f’(x)>0 thì b là điểm Fourier. Xấp xỉ ban đầu là x0= a và ta có phép lặp:

- Khai báo hàm f(x)

- Nhập a, b

- Tính x = a – (b-a)f(a) / (f(b)-f(a))

- Nếu f(x)*f(a) <0

Lặp b = x

x = a – (b-a)f(a) / (f(b)-f(a))

trong khi |x – b|> ε

Ngược lại

Lặp a = x

x = a – (b-a)f(a) / (f(b)-f(a))

trong khi |x – a|> ε

- Xuất nghiệm: x

Sai số ở bước n được tính theo công thức là:

Vídụ9. Giải phương trình x3 + x - 5 = 0 bằng phương pháp dây cung

G i ả i:

- Tách nghiệm: Phương trình có 1 nghiệm xthuộc(1, 2)

- Chính xác hoá nghiệm:

f(1) = -3 < 0, f(2) = 5 > 0

Bảng kết quả:

Nghiệm phương trình: x ≈1.38