Nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều

Trong mục này ta khảo sát chi tiết nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều, vì đây là nhóm đối xứng rất thường gặp trong nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử: vật lý nguyên tử, vật lý hạt nhân, vật lý hạt sơ cấp. Ta bắt đầu từ việc nghiên cứu các phép quay của mặt phẳng xOy quanh gốc tọa độ, tạo thành nhóm SO(2). Đó chính là nhóm quay không gian ba chiều quanh trục cố định Oz, một nhóm con của nhóm SO(3). Mỗi phép quay của mặt phẳng xOy được đặc trưng bởi góc quay φ và ký hiệu là O(φ). Thực hiện liên tiếp hai phép quay các góc φ₁ và φ₂, ta được phép quay góc φ₁ + φ₂ là tích của hai phép quay nói trên

O(φ₁) O(φ₂) = O (φ₁ + φ₂)

Tất cả các phép quay này giao hoán với nhau cho nên SO(2) là nhóm giao hoán. Mọi yếu tố O(φ) của nhóm này đều hoàn toàn được xác định bởi giá trị của thông số φ thay đổi liên tục từ 0 đến 2 Π size 12{Π} {}. Do đó SO (2) là nhóm liên tục một thông số. Trong phép quay O(φ) các vectơ đơn vị cơ sở i và j chuyển thành vectơ đơn vị mới i’ và j’ liên hệ với i và j bởi các hệ thức (xem hình 1.1)

i ' = i cos φ + j sin φ

j ' = -i sin φ + j cos φ

Hai công thức này có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau:

(i ^' j ^')=(i j ) φ φ φ φ

Vậy ma trận của phép biến đổi O (φ size 12{ϕ} {}) là

O (φ)= φ φ φ φ

Dễ dàng thử lại rằng O (φ size 12{ϕ} {}) là ma trận trực giao

O (φ size 12{φ} {})^TO (φ size 12{φ} {}) = O (φ size 12{φ} {})O (φ size 12{φ} {})^T = I

có định mức bằng 1,

det O (ϕ size 12{ϕ} {}) = 1,

và thỏa mãn điều kiện

O (φ₁) O (φ₂) = O (φ₁ + φ₂)

Ma trận O (φ size 12{φ} {}) hoàn toàn xác định phép quay tương ứng. Vì các yếu tố ma trận của nó là các hàm khả vi của φ size 12{φ} {} cho nên O (φ size 12{φ} {}) là nhóm Lie.

Trong phép quay O (φ size 12{ϕ} {})vectơ r với các thành phần x và y,

r= xi + yj,

chuyển thành vectơ r’ với các thành phần x’ và y’,

r ’ = x i ’ + y j ’.

Mặt khác, vì r ’, i ’, j ’ thu được từ r, i, j sau cùng một phép quay cho nên hệ thức giữa r ’ và i ’, j ’ có dạng giống hệt như hệ thức giữa r và i, j, cụ thể là

r ’ = x i ’ + y j ’

Thay vào đây các biểu thức diễn tả i ’ và j ’ theo ivà j, ta suy ra

x ’ = cos φ x - sin φy

y ’ = sin φx + cos φy

Các công thức này còn được viết dưới dạng ma trận như sau

x ' y ' = φ φ φ φ x y

Các phép quay mặt phẳng xOy xung quanh gốc tọa độ O đồng thời cũng là các phép quay của không gian ba chiều quanh trục Oz. Ký hiệu các vectơ đơn vị cơ sở của không gian Euclide ba chiều là i, j, k, phép quay góc φ quanh trục Oz là Cz(φ). Phép quay này chuyển các vectơ đơn vị cơ sở nói trên thành các vectơ đơn vị cơ sở mới sau đây.

i ’ = i cos φ + j sin φ,

j ’ = -i cos φ + j cos φ,

k ’ = k

Do đó ma trận của phép quay C_z(φ) có dạng

C_z(φ)= φ φ 0 φ φ 0 0 0 1

Tương tự như vậy, ma trận của các phép quay góc φ quanh các trục Ox và Oy, ký hiệu là C_z(φ) và C_y(φ), có dạng

C_x(φ)= 1 0 0 0 φ φ 0 φ φ

C_y(φ)= φ 0 φ 0 1 0 φ 0 φ

Xét nhóm quay trong không gian ba chiều SO(3). Mọi phép quay không gian ba chiều quanh gốc tọa độ O đều có thể được thực hiện dưới dạng tổ hợp của ba phép quay liên tiếp sau đây: phép quay góc φ quanh trục Oz chuyển các trục tọa độ Ox và Oy thành Ox’ và Oy’, phép quay góc θ size 12{θ} {} quanh trục mới Ox’ chuyển các trục mới Oy’ và Ox thành Oy’’ và Oz’’, phép quay góc ψ size 12{ψ} {} quanh trục mới Oz’’ (xem hình 1.2). Ba thông số φ, θ size 12{θ} {}, ψ size 12{ψ} {} gọi là ba góc Euler. Ký hiệu phép quay với ba góc Euler.

φ, θ size 12{θ} {}, ψ size 12{ψ} {} là O( ψ size 12{ψ} {}, θ size 12{θ} {},φ). Ma trận của phép quay này là tích của ba ma trận tương ứng với các phép quay quanh các trục Oz, Ox’ và Oz’’, cụ thể là

O( ψ size 12{ψ} {}, θ size 12{θ} {},φ) = Cz( ψ size 12{ψ} {}) Cx( θ size 12{θ} {}) Cz(φ).

Thay vào đây các biểu thức của Cx(φ), Cz( ψ size 12{ψ} {}) và Cx( θ size 12{θ} {}), ta thu được

O (ψ size 12{ψ} {}, θ size 12{θ} {}, φ) =

Các góc ψ size 12{ψ} {} và φ thay đổi từ 0 đến 2 π size 12{π} {}, còn góc θ size 12{θ} {} thay đổi từ 0 đến π size 12{π} {}. Nhóm SO(3) là nhóm Lie ba thông số.

Trong đoạn trước ta đã định nghĩa các yếu tố liên hợp. Bây giờ ta hãy chứng minh tính chất liên hợp của hai phép quay cùng một góc quanh hai trục khác nhau.

Mệnh đề . Trong nhóm quay SO(3) hai phép quay cùng một góc quanh hai trục quay khác nhau luôn luôn liên hợp với nhau.

Chứng minh. Ký hiệu các vectơ đơn vị cơ sở i, j, k của hệ tọa độ Descartes là e_i, i = 1, 2, 3 và giả sử n và n’ là hai vectơ đơn vị có chung điểm đầu là gốc tọa độ O. Có một phép quay R nào đó chuyển vectơ n thành vectơ n’ và giả sử rằng trong phép quay này các vectơ đơn vị cơ sở e_i chuyển thành ei' size 12{ {} rSub { size 8{i} } rSup { size 8{'} } } {}. Các phép quay góc φ quanh các trục n và n’ ký hiệu là Cn(φ) và Cn_’(φ). Trong hệ tọa độ với các vectơ đơn vị cơ sở ei' size 12{ {} rSub { size 8{i} } rSup { size 8{'} } } {} phép quay Cn_’(φ) có các yếu tố ma trận giống hệt như các yếu tố má trận của phép quay Cn(φ) trong hệ tọa độ với các vectơ đơn vị cơ sở e_i. Nói khác đi, nếu

C _n(φ) e_i=e_j A _ji

thì

C _n' (φ) e_i ^'=e_j ^' A _ji

Thay

e i ' size 12{ {} rSub { size 8{i} } rSup { size 8{'} } } {} = R ei

vào hệ thức (4)

C_n’ (φ) R e_i = Re_j A_ji

rồi nhân cả hai vế với R^-1 từ bên trái, ta thu được

R^-1Cn’ (φ) Re_i = e_j A_ji

So sánh với hệ thức (3), ta suy ra rằng

R^-1C_n’ (φ) R = C_n(φ)

hay là

C_n’(φ) = RC_n(φ)R^-1

Ta còn viết lại hệ thức này như sau

C_Rn (φ)=RC_n (φ)R ^-1

Vậy C_Rn (φ) và C_n (φ) là hai yếu tố liên hợp với nhau của nhóm SO(3).

Bây giờ bẳng những lập luận tổng quát chúng ta hãy thiết lập biểu thức của phép quay C_n(δ size 12{δ} {}φ) một góc vô cùng bé δ size 12{δ} {}φ quanh trục quay hướng theo vectơ đơn vị n trong phép gần đúng cấp 1 theo δ size 12{δ} {}φ. Ta hãy đặc trưng phép quay góc δ size 12{δ} {}φ quanh trục quay hướng theo vectơ n bằng vectơ δ size 12{δ} {}φ có giá trị bằng δ size 12{δ} {}φ và hướng theo trục quay,

δ size 12{δ} {}φ = nδ size 12{δ} {}φ.

Ma trận C_n (δ size 12{δ} {}φ) phải quy về ma trận đơn vị I khi đặt δ size 12{δ} {}φ = 0, cho nên nó có dạng

C_n (δ size 12{δ} {}φ) = I + X (δ size 12{δ} {}φ)

Trong đó ma trận X (δ size 12{δ} {}φ) là đại lượng bé cấp 1 theo δ size 12{δ} {}φ. Bỏ qua số hạng cấp 2, ta có

Mặt khác

Từ điều kiện ma trận C_n( δ size 12{δ} {}φ) là ma trận trực giao

suy ra rằng ma trận X (δ size 12{δ} {}φ) phải là ma trận phản đối xứng

X ( δφ ) T = − X ( δφ ) size 12{ left [X ( ital "δϕ" ) right ] rSup { size 8{T} } = - X ( ital "δϕ" ) } {} ^T

Ta thấy rằng trong số chín yếu tố ma trận của X (δ size 12{δ} {}φ) thì ba yếu tố chéo phải bằng không

sáu yếu tố không nằm trên đường chéo chia thành ba cặp, mỗi cặp gồm hai yếu tố bằng nhau về độ lớn và ngược dấu nhau,

Vậy ma trận X( δ size 12{δ} {}φ) chỉ chứa ba thông số độc lập. Ta có thể chọn ba thàn phần δφ size 12{ ital "δφ"} {}_k, k = 1, 2, 3, của vectơ δ size 12{δ} {}φ làm ba thông số độc lập này và viết

X( δ size 12{δ} {} φ) = - i δ size 12{δ} {} φ S = - i δ size 12{δ} {} φ _k S _k

trong đó S_k, k = 1, 2, 3, là ba ma trận phản đối xứng 3 x 3 độc lập tuyến tính với nhau. Ta đưa them đơn vị ảo –i vào công thức vừa viết để cho thuận tiện sau này. Vì các yếu tố ma trậ của X( δφ size 12{ ital "δϕ"} {}) phải là các số thực cho nên các yếu tố ma trận của các ma trận S_k phải là các số ảo.

Từ các biểu thức vừa viết ở trên của C_n (δ size 12{δ} {}φ) và X (δ size 12{δ} {}φ) suy ra rằng các phép quay góc vô cùng bé δφ size 12{ ital "δϕ"} {} quanh các trục Ox, Oy, và Oz có các ma trận sau đây

C_x (δφ)= I - i δφ S₁

C_y (δφ)= I - i δφ S₂

C_z (δφ)= I - i δφ S₃

Các ma trận Sk, k = 1, 2, 3, gọi là các vi tử của các phép quay quanh ba trục tọa độ. Ta lại cũng đã biết các biểu thức (1a) - (1c) của các phép quay C_x( φ size 12{ϕ} {}), C_y( φ size 12{ϕ} {}), C_z( φ size 12{ϕ} {}) với các góc quay φ size 12{ϕ} {} bất kỳ. Dùng các biểu thức này rồi thay φ size 12{ϕ} {} bằng δφ size 12{ ital "δϕ"} {} vô cùng bé và chỉ giữ lại các số hạng cấp 1 theo δφ size 12{ ital "δϕ"} {}, ta suy ra

C_x(δφ)= 1 0 0 0 1 δφ 0 δφ 1 ,

C_y(δφ)= 1 0 δφ 0 1 0 δφ 0 1 ,

C_z(δφ)= 1 δφ0 δφ 1 0 0 0 1 ,

So sánh các biểu thức này với các công thức biểu diễn các ma trận C_x( δφ size 12{ ital "δϕ"} {}), C_y( δφ size 12{ ital "δϕ"} {}) và C_z( δφ size 12{ ital "δϕ"} {}) qua các vi tử S₁, S₂, S₃ mà ta đã viết ở trên, ta thu được

S₁ = 0 0 0 0 0 i 0 i 0

S₂ = 0 0 i 0 0 0 i 0 0

S₃ = 0 i 0 i 0 0 0 0 0

Dễ thử lại rằng ba ma trận S₁, S₂, S₃ thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau đây

S1,S2 size 12{ left [S rSub { size 8{1} } ,S rSub { size 8{2} } right ]} {}= i S₃, S2,S3 size 12{ left [S rSub { size 8{2} } ,S rSub { size 8{3} } right ]} {}= i S₁, S3,S1 size 12{ left [S rSub { size 8{3} } ,S rSub { size 8{1} } right ]} {}= i S₂

hay là dưới dạng thu gọn

Si,Sj size 12{ left [S rSub { size 8{i} } ,S rSub { size 8{j} } right ]} {}= i εijk size 12{ε rSub { size 8{ ital "ijk"} } } {} S_k,

Trong đó εijk size 12{ε rSub { size 8{ ital "ijk"} } } {} là tenxơ hoàn toàn phản đối xứng hạng 3 trong không gian ba chiều, với