Một số ứng dụng của đồ thị(phần 1)
Một số ứng dụng trong đồ thị Bài toán luồng cực đại có rất nhiều ứng dụng trong việc giải bài toán tổ hợp. Khó khăn chính ở đây là phải xây dựng mạng tương ứng sao cho việc tìm luồng cực đại trong nó sẽ tương đương với việc giải bài toán tổ hợp đặt ...
Một số ứng dụng trong đồ thị
Bài toán luồng cực đại có rất nhiều ứng dụng trong việc giải bài toán tổ hợp. Khó khăn chính ở đây là phải xây dựng mạng tương ứng sao cho việc tìm luồng cực đại trong nó sẽ tương đương với việc giải bài toán tổ hợp đặt ra. Mục này sẽ giới thiệu một số bài toán như vậy.
Có m chàng trai ở một vùng quê nọ. Đối với mỗi chàng trai ta biết các cô gái mà anh ta vừa ý. Hỏi khi nào thì có thể tổ chức các đám cưới trong đó chàng trai nào cũng sánh duyên với các cô gái mà mình vừa ý.
Ta có thể xây dựng đồ thị với các đỉnh biểu thị các chàng trai và các cô gái, còn các cung biểu thị sự vừa ý của các chàng trai với các cô gái. Khi đó ta thu được một đồ thị hai phía.
Ví dụ. Có 4 chàng trai { T1, T2, T3,T4}và 5 cô gái { G1, G2, G3,G4, G5}. Sự vừa ý cho trong bảng sau
| Chàng trai | Các cô gái mà chàng trai ưng ý |
| T1 | G1, G4, G5 |
| T2 | G2 |
| T3 | G2, G3,G4 |
| T4 | G2, G4 |
Đồ thị tương ứng được cho trong hình 1.
Hình 1 Mạng tương ứng với bài toán đám cưới vùng quê.
Đưa vào điểm phát s và điểm thu t. Nối s với tất cả các đỉnh biểu thị các chàng trai, và nối t với tất cả các đỉnh biểu thị các cô gái. Tất cả các cung của đồ thị đều có khả năng thông qua bằng 1. Bắt đầu từ luồng 0, ta tìm luồng cực đại trong mạng xây dựng được theo thuật toán Ford-Fulkerson. Từ định lý về tính nguyên, luồng trên các cung là các số hoặc 1. Rõ ràng là nếu luồng cực đại trong đồ thị có giá trị Vmax = m, thì bài toán có lời giải, và các cung với luồng bằng 1 sẽ chỉ ra cách tổ chức đám cưới thoả mãn điều kiện đặt ra. Ngược lại, nếu bài toán có lời giải thì Vmax = m. Bài toán về đám cưới vùng quê là một trường hợp riêng của bài toán về cặp ghép trên đồ thị hai phía mà để giải nó có thể xây dựng thuật toán hiệu quả hơn.
Cho tập m phần tử X={ z1, z2, . . . ,zm}. Giả sử <A1, A2, . . ., An> và <B1, B2, . . ., Bn> là hai dãy các tập con của X. Dãy gồm n phần tử khác nhau của X: <a1, a2, . . . ,an> được gọi là hệ thống các đại diện chung của hai dãy đã cho nếu như tìm được một hoán vị s của tập {1, 2,. . .,n} sao cho < a1, a2, . . . ,an> là hệ thống các đại diện phân biệt của hai dãy <A1, A2, . . ., An> và <Bs(1), Bs(2), . . ., Bs(n)>, tức là điều kiện sau được thoả mãn: ai ∈ Ai Bs (i), i = 1, 2, . . ,n. Xây dựng mạng G = (V, E) với tập đỉnh
V = { s, t} { x1, x2, . . . ,xn} {u1, u2, . . . ,un} { v1, v2, . . . ,vn} { y1, y2, . . . ,yn}.
trong đó đỉnh xi tương ứng với tập Ai, đỉnh yi tương ứng với tập Bi, các phần tử uj, yj tương ứng với phần tử zj. Tập các cung của mạng G được xác định như sau
Khả năng thông qua của tất cả các cung được đặt bằng 1. Dễ dàng thấy rằng hệ thống đại diện chung của hai dãy và tồn tại khi và chỉ khi trong mạng G=(V,E) tìm được luồng với giá trị n. Để xét sự tồn tại của luồng như vậy có thể sử dụng thuật toán tìm luồng cực đại từ s đến t trong mạng G=(V, E).
Trong mục này ta sẽ trình bày thuật toán được xây dựng dựa trên thuật toán tìm luồng cực đại để giải một bài toán tối ưu rời rạc là mô hình toán học cho một số bài toán tối ưu tổ hợp.
Xét bài toán tối ưu rời rạc:
với điều kiện
trong đó aij ∈ { 0,1} , i = 1, 2, . . . , m; j=1, 2, . . . n, pi –nguyên dương, i = 1, 2, . . .,m.
Bài toán (1)-(3) là mô hình toán học cho nhiều bài toán tối ưu tổ hợp thực tế. Dưới đây ta dẫn ra một vài ví dụ điển hình.
Bài toán phân nhóm sinh hoạt. Có m sinh viên và n nhóm sinh hoạt chuyên đề. Với mỗi sinh viên i, biết
+ aij =1, nếu sinh viên i có nguyện vọng tham gia vào nhóm j,
+ aij =0, nếu ngược lại,
+ và pij là số lượng nhóm chuyên đề mà sinh viên i phải tham dự,
i = 1, 2, . . . ,m; j=1, 2,. . . ,n.
Trong số các cách phân các sinh viên vào nhóm chuyên đề mà họ có nguyện vọng tham gia và đảm bảo mỗi sinh viên i phải tham gia đúng pi nhóm, hãy tìm cách phân phối với số người trong nhóm có nhiều sinh viên tham gia nhất là nhỏ nhất có thể được.
Đưa vào biến số
xij = 1, nếu sinh viên i tham gia vào nhóm j,
xij = 0, nếu ngược lại,
i = 1, 2, . . .,m, j=1, 2,. . .,n, khi đó dễ thấy mô hình toán học cho bài toán đặt ra chính là bài toán (1)-(3).
Bài toán lập lịch cho hội nghị. Một hội nghị có m tiểu ban, mỗi tiểu ban cần sinh hoạt trong một ngày tại phòng họp phù hợp với nó. Có n phòng họp dành cho việc sinh hoạt của các tiểu ban. Biết
aij = 1, nếu phòng họp i là thích hợp với tiểu ban j,
aij=0, nếu ngược lại,
i = 1, 2, . . .,m, j =1, 2,. . .,n. Hãy bố trí các phòng họp cho các tiểu ban sao cho hội nghị kết thúc sau ít ngày làm việc nhất.
Đưa vào biến số
xij = 1, nếu bố trí tiểu ban i làm việc ở phòng j,
xij =0, nếu ngược lại,
i =1, 2, . . .,m, j =1, 2,. . .,n, khi đó dễ thấy mô hình toán học cho bài toán đặt ra chính là bài toán (1)-(3), trong đó pi=1, i =1, 2, . . .,m.
Các bài toán tối ưu trên mạng, một phần của lý thuyết đồ thị hữu hạn là một lý thuyết toán học được ứng dụng rộng rãi trong kinh tế, quân sự.
Người đặt nền móng đầu tiên cho lý thuyết đồ thị là nhà toán học Euler, với “bài toán bảy cái cầu” nổi tiếng vào năm 1736.
Trong quá trình khai thác các khía cạnh khác nhau của bài toán, các nhà toán học đã dần dần đặt cơ sở lý luận cho một lý thuyết toán học mới ra đời, đó là lý thuyết đồ thị hữu hạn (lý thuyết Graph).
Đến nay lý thuyết đồ thị hữu hạn đã được nghiên cứu ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của hoạt động kinh tế xã hội, là công cụ toán học sắc bén trong nghiên cứu các hệ thống kỹ thuật -công nghệ, hệ thống kinh tế -xã hội, hệ thống quân sự, hệ thống bưu chính viễn thông v.v...
Trong những năm gần đây nhờ sự hỗ trợ của công nghệ thông tin và máy tính điện tử, lý thuyết graph càng trở thành công cụ hiệu quả, năng động giải quyết nhiều bài toán liên quan đến nghiên cứu phân tích hệ thống.
Mô hình định tuyến mạng đường thư cấp 1
Mạng đường thư cấp một thực chất là một đồ thị có các đỉnh là các nút trung tâm Bưu chính và các Bưu điện trung tâm. Vận chuyển giữa các nút mạng có thể qua đường trực tiếp hoặc qua các nút trung gian. Do vậy xuất hiện bài toán lựa chọn tuyến đường vận chuyển. Tức là phải chỉ ra cách vận chuyển từ một nút bất kỳ tới một nút bất kỳ khác cần phải qua nút trung gian nào. Giữa 2 đỉnh sẽ có cung liên kết nếu chúng có đường vận chuyển trực tiếp với nhau.
Để giải bài toán xác định đường vận chuyển bưu chính cần có các khái niệm sau:
1. Lưu lượng (luồng) vận chuyển bưu gửi: Số lượng bưu gửi xuất hiện tại một nút mạng bất kỳ cần phải chuyển tới một nút mạng khác. Đại lượng này tính trong một đơn vị thời gian (giờ, ngày, tuần, tháng), được gọi là tải trọng. Do đặc điểm không đồng đều của tải trọng theo ngày trong tuần và tháng trong năm nên ta chỉ xét tải trọng trung bình ngày để lập kế hoạch vận chuyển (thống kê một tháng tiêu biểu và chia trung bình cho một ngày). Trong mô hình, tải trọng giữa các nút mạng được biểu diễn dưới dạng ma trận mà phần tử (ij) được hiểu là tải trọng trong một ngày từ nút mạng i tới nút mạng j.
2. Khả năng lưu thoát của nút mạng là số lượng bưu gửi có thể được khai thác tại một nút mạng trong một ngày. Khả năng lưu thoát phụ thuộc vào nhiều yếu tố như diện tích mặt bằng, mức độ cơ giới hoá, tự động hoá, tổ chức sản xuất, mức độ không đồng đều của tải trọng, tần số và thời gian khởi hành của các phương tiện vận chuyển...
3. Giá trị của các cung (chiều dài các cung) là giá thành vận chuyển một đơn vị sản phẩm theo từng cung liên kết, hoặc thời gian vận chuyển giữa các nút mạng. Đơn vị sản phẩm có thể là một túi thư, một container hoặc một bưu kiện tuỳ vào bài toán cụ thể. Giá thành vận chuyển một đơn vị sản phẩm được biểu diễn qua chiều dài cung hoặc thời gian vận chuyển giữa các nút mạng.
Bài toán lập kế hoạch vận chuyển bưu gửi
Trước tiên, xét hai nút mạng cần trao đổi bưu gửi, một nút mạng là nguồn ws, một nút là đích wt, luồng tải trọng từ nguồn tới đích sẽ là: (x1 ,...,xj ,...,xn)
các cung dj với xj> 0 tạo thành tuyến vận chuyển tải trọng xjtừ nguồn wstới đích wt , tuyến vận chuyển này được xác định là một tập hợp các nút mạng (hay tập hợp các cung) tham gia vào tuyến vận chuyển này.
Như vậy, bài toán định tuyến mạng vận chuyển bưu gửi là cần xác định luồng bưu gửi từ một nút mạng tới một nút mạng khác cần phải qua các nút trung gian nào để tối thiểu hoá chi phí vận chuyển của toàn bộ mạng, đồng thời việc lựa chọn tuyến đường cần thoả mãn các điều kiện ràng buộc về thời gian toàn trình và khả năng lưu thoát của từng nút mạng.
Trong mạng vận chuyển bưu chính, trên mạng đồng thời thực hiện nhiều luồng trao đổi, mỗi một luồng có nút khởi đầu và nút kết thúc. Do vậy, cần đưa vào ký hiệu từng luồng là véc tơ xq:
xq =(xq1,..., xqj,...,xqn)
Xqcần thoả mãn điều kiện không âm và điều kiện bảo toàn luồng nghĩa là:
AXq =Vq Xq ≥ 0Trong đó:Vq: véctơ tất cả các phần tử đều bằng 0, ngoại trừ hai phần tử tương ứng với nút mạng khởi đầu và nút kết thúc có giá trị là -vqvà Vq(vRlà lưu lượng cần vận chuyển của mỗi luồng);
A: Ma trận liên kết cung nút chứa m dòng và n cột trong đó m là số nút mạng và n là số cung. Ma trận A chính là mô hình định tuyến mạng vận chuyển của từng luồng cần xác định.
Ma trận liên kết cung nút của graph G = (W,D), ký hiệu A=[aij] có kích thước m x n với các phần tử được xác định như sau:
Ngoài ra luồng Xqcòn phải thoả mãn điều kiện ràng buộc không được vượt quá khả năng khai thác của từng nút mạng wi.
Xét véc tơ Pi(Pi1, Pi2, ... Pin) trong đó Pi= l nếu djhướng tới đỉnh wivà Pi = 0 nếu ngược lại. Véc tơ Pichính là dòng i của ma trận liên kết cung nút A mà trong đó tất cả các phần tử -l được thay bằng 0.
Như vậy, điều kiện ràng buộc về khả năng lưu thoát của các nút mạng là:
Trong đó:
hi: Khả năng Lưu thoát của nút mạng W
r: Số đôi nút mạng trong mạng có trao đổi bưu gửi
Tiêu chí tối ưu của bài toán vận chuyển bưu gửi như sau:
Giả sử C (C1,C2,... Cn) là Véctơ chi phí vận chuyển trong đó Cj là cước vận chuyển l đơn vị sản phẩm qua cung dj(chiều dài cung dj). Khi đó chi phí vận chuyển sẽ là:
Z = CX1 + ... + CXq+ ... + CXr
= C(X1 + ... + Xq+ ... + Xr) → min
Vậy mô hình vận chuyển tối ưu là:
Trong trường hợp không có điều kiện hạn chế về khả năng lưu thoát của các nút mạng, bài toán định tuyến mạng bưu chính chỉ đơn giản là bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa từng đôi nút mạng. Bài toán tìm đường ngắn nhất được giải bằng thuật toán dán nhãn của Dijkstra.
Mô hình mạng đường thư trong thành phố
Mạng đường thư trong thành phố là một đồ thị đỉnh của nó là các bưu cục. Hai đỉnh của đồ thị sẽ được nối kết với nhau bằng cung liên kết nếu giữa chúng có tuyến đường đi. Trong thành phố giữa các bưu cục bao giờ cũng có các đường thư, nên đồ thị được kết nối theo kiểu điểm nối điểm. Đồ thị mạng đường thư trong thành phố là một đồ thị có hướng vì khoảng cách i tới j và j tới i có thể không trùng nhau (đường một chiều). Giá trị của cung được biểu diễn bằng khoảng cách hoặc thời gian vận chuyển giữa các nút mạng hoặc chi phí vận chuyển giữa các nút mạng.
Ta có chi phí vận chuyển giữa các nút mạng là:
cịj = krij
rij : Khoảng cách giữa các nút i và nút j (cần được xác định theo khoảng cách thực tế và phải lựa chọn rij là đường ngắn nhất, tức là phải thoả mãn điều kiện rij ≤ rik + rkj do một cạnh tam giác nhỏ hơn tổng 2 cạnh còn lại).
k: Chi phí vận chuyển l km bằng ô tô.
Thời gian vận chuyển trên cung ij
Vij : Vận tốc vận chuyển ô tô từ nút i tới nút j.
t0j : Thời gian trao đổi tại nút mạng j.
Khi tổ chức mạng đường thư có thể sử dụng phương thức đường thẳng, đường vòng hoặc hỗn hợp.
Mạng đường vòng có ưu điểm là sử dụng các phương tiện vận chuyển hiệu quả hơn. Do vậy trong thành phố thường sử dụng đường vòng do tính kinh tế của nó.
Bài toán
Bài toán tổ chức mạng đường thư trong thành phố là xác định hành trình của từng chiếc ô tô phải qua các nút mạng nào, theo trình tự nào để đảm bảo chi phí vận chuyển toàn mạng là nhỏ nhất (hoặc tổng quãng đường hay tổng thời gian vận chuyển nhỏ nhất) đồng thời thoả mãn các ràng buộc về thời gian vận chuyển của từng ô tô và dung lượng vận chuyển của từng ô tô.
Trong hệ thống khai thác tập trung tồn tại một Bưu điện trung tâm duy nhất. Nếu chia các nút mạng ra làm hai loại nguồn và đích, nút mạng trung tâm sẽ là nguồn, các nút mạng còn lại sẽ là đích hoặc ngược lại.
Trong mô hình vận chuyển bưu gửi trong thành phố, các đỉnh đồ thị được đặc trưng bởi số lượng bưu gửi mà nó cần nhận được từ qi hoặc ngược lại cần gửi đi ri.
Trong đó:
0: nút nguồn.
i = l ÷ N : đích
Trong hệ thống khai thác phân tán khi đó đồ thị sẽ được chia thành các đồ thị con, mỗi một đồ thị chỉ có một nút mạng nguồn duy nhất và việc giải bài toán thực tế là giải từng bài toán con.
Nếu mạng vận chuyển trong thành phố chủ yếu bằng ô tô, ta giả sử:
M: số ô tô toàn mạng
Qj - dung lượng của j ô tô, phụ thuộc vào loại ô tô
T - thời gian vận chuyển tối đa cho phép trên một đường thư.
T được xác định dựa trên các định mức (T = 2 giờ).
Qj = min (Pj / b, Vj / d)
Trong đó Pj : tải trọng của ô tô;
Vj : thể tích vận chuyển của ô tô;
b: Khối lượng trung bình của túi thư;
d: thể tích trung bình của túi thư.
Mô hình toán học
Giả sử gọi xijk là ẩn cần tìm, xijk = 1 nếu trong tuyên vòng k, đỉnh j sẽ được tới ngay sau đỉnh i, Xijk = 0 trong trường hợp ngược lại, khi đó mô hình toán học của bài toán mạng đường thư trong thành phố là:
Biến Xijk cần thoả mãn các ràng buộc sau:
|
j = 0 ÷ N | (1) |
|
k = 1 ÷ M, p = 0 ÷ N | (2) |
|
k = 1 ÷ M | (3) |
|
k = 1 ÷ M | (4) |
Trong đó t0i : thời gian trao đổi tại nút mạng i.
(l): Do mỗi đỉnh đồ thị chỉ thuộc một tuyến đường vòng;
(2): Đối với mỗi một đỉnh, số lượng các cung đi vào và đi ra phải bằng nhau tại một đỉnh;
(3): Ràng buộc về dung lượng của ô tô;
(4): Ràng buộc về thời hạn vận chuyển của từng ô tô.
Đây là bài toán tổng quát về mạng vận chuyển thư trong thành phố. Bài toán tìm hành trình của bưu tá qua n điểm là trường hợp riêng khi chỉ có 1 tuyến đường vòng qua n điểm (M=1), còn bài toán này cần xác định M tuyến đường cho M ô tô và cần thoả mãn các hạn chế (ràng buộc) về chỉ tiêu thời gian và dung lượng vận chuyển của ô tô.
