Lý thuyết tích của vectơ với một số

Lý thuyết tích của vectơ với một số

1. Định nghĩa

1. Định nghĩa 

Cho một số (k e  0) và vec tơ (overrightarrow{a} eoverrightarrow{0}).

Tích của một số k với vec tơ (overrightarrow{a}) là một vec tơ , kí hiệu là (koverrightarrow{a}) cùng hướng với (overrightarrow{a}) nếu (k > 0), ngược hướng với (overrightarrow{a})  nếu (k< 0) và có độ dài bằng (|k|.left | overrightarrow{a} ight |)

2. Tính chất : Tích của một số với một vec tơ có tính chất:

a) Phân phối với phép cộng vec tơ:

       (k (overrightarrow{a}+overrightarrow{b}) = k overrightarrow{a}+ koverrightarrow{b})

b) Phân phối với phép cộng các số:

        ((h+k)overrightarrow{a} = h overrightarrow{a} +koverrightarrow{a})

c) Kết hợp:                                    

(h(koverrightarrow{a}) = (h.k)overrightarrow{a})

d) (1. overrightarrow{a} = overrightarrow{a})        

((-1)overrightarrow{a}= -overrightarrow{a})

3.Áp dụng

a) Nếu (I) là trung điểm của đoạn thẳng (AB) thì với mọi điểm (M) ta có 

              (overrightarrow{MA} +overrightarrow{MB} = 2 overrightarrow{MI}).

b) Nếu (G) là trọng tâm của tam giác (ABC) thi mọi điểm (M) ta có 

               (overrightarrow{MA} +overrightarrow{MB} + overrightarrow{MC}= 3overrightarrow{MG}).

4. Điều kiện để hai vec tơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vec tơ cùng phương là có một số (k) để (overrightarrow{a} = koverrightarrow{b}).

5. Phân tích một vec tơ thành haivec tơ không cùng phương

Cho hai vec tơ (overrightarrow{a}) và (overrightarrow{b}) không cùng phương. Khi đó một vec tơ (overrightarrow{x}) đều hân tích được một cách duy nhất theo hai vec tơ (overrightarrow{a}), (overrightarrow{b}) nghĩa là có duy nhất một cặp số (h, k) sao cho (overrightarrow{x}= hoverrightarrow{a}+ koverrightarrow{b}).