Lý thuyết Phương trình đường tròn (phần 1)

1. Phương trình đường tròn

   - Phương trình đường tròn tâm I(a; b) và có bán kính R là (x-a)²+(y-b)²=R².

   - Phương trình ở dạng này gọi là phương trình chính tắc của đường tròn.

   - Nếu a² + b² - c > 0 thì phương trình x² + y² - 2ax - 2by + c=0 cũng gọi là phương trình của đường tròn với tâm I(a; b) và có bán kính

   - Phương trình ở dạng này gọi là phương trình tổng quát của đường tròn.

2. Vị trí tương đối giữa đường tròn với điểm, đường thẳng

   - Cho đường tròn (C) tâm I(a; b) và có bán kính R.

   - Phương trình của (C): (x-a)² + (y-b)² = R²

      + Xét điểm A(x₀;y₀) thì:

         - Điểm A nằm trong đường tròn (C) <=> IA < R <=> (x₀-a)² + (y₀-b)² < R²

         - Điểm A nằm trên đường tròn (C) <=> IA = R <=> (x₀-a)² + (y₀-b)²= R²

         - Điểm A nằm ngoài đường tròn (C) <=> IA > R <=> (x₀-a)² + (y₀-b)² > R²

      + Xét đường thẳng Δ: mx + ny + p = 0 thì:

         - Đường thẳng Δ không cắt đường tròn (C) <=> d(I, Δ) > R

         - Đường thẳng Δ tiếp xúc đường tròn (C) <=> d(I, Δ) = R

         - Đường thẳng Δ cắt đường tròn (C) <=> d(I, Δ) < R

Ta cũng có thể xét vị trí của đường thẳng Δ và đường tròn (C) thông qua việc xem xét số giao điểm hay số nghiệm của hệ phương trình

         - Đường thẳng Δ không cắt đường tròn (C) <=> hệ vô nghiệm

         - Đường thẳng Δ tiếp xúc đường tròn (C) <=> hệ có nghiệm duy nhất

         - Đường thẳng Δ cắt đường tròn (C) <=> hê có hai nghiệm

   - Chú ý:

      + Đường thẳng Δ tiếp xúc đường tròn (C) tại A thì IA ⊥ Δ

      + Đường thẳng Δ cắt đường tròn (C) tại A và B thì

3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Tiếp tuyến tại điểm M(x₀;y₀) của đường tròn (C) tâm I(a; b) và có bán kính R là

(x₀-a)(x-x₀)+(y₀-b)(y-y₀)=0