Lý thuyết lũy thừa

Lý thuyết lũy thừa

1. Khái niệm lũy thừa.

1. Khái niệm lũy thừa.

Lũy thừa là các biểu thức dạng (x^alpha), trong đó (x,α) là những số thực, x được gọi là cơ số, (α) được gọi là số mũ. Lũy thừa có các tính chất sau:

(1) Nếu x ∈ ℝ thì  ∀n ∈ ℤ⁺, xⁿ =(frac{x.x.x...x}{n})  ( định nghĩa).

(2)  Nếu (x e 0) thì ∀n ∈ ℤ⁺,  x^-n =(frac{1}{x^{n}}) , x⁰ = 1 ( định nghĩa).

(3) Nếu x > 0 thì ∀m, n ∈ ℤ( n ≥ 2), (x^{frac{m}{n}}) =(sqrt[n]{x^{m}}) ( định nghĩa).

(4) Nếu x < 0 thì ∀α ∈ ℝ , x^-α =(frac{1}{x^{alpha }}).

(5) ∀x, > 0, ∀α, β ∈ ,ℝ x^α .x^β = x^α+β; x^α  : x^β = x^α-β; (x^α)^β = x^αβ (tính chất các lũy thừa cùng cơ số).

(6)∀x,y > 0, ∀α ∈ ℝ  (xy)^α= x^α.y^α ; (x:y)^α = x^α: y^α ( tính chất lũy thừa cùng số mũ).

(7) Nếu a> 1 thì ∀x₁, x₂ ∈ R, a^x1>a^x2 ⇔ x₁ > x₂ : nếu 0<a1, x₂ ∈ ℝ , a^x1 > a^x2 ⇔ x₁ <  x₂ ( so sánh hai lũy thừa cùng cơ số).

2. Sử dụng máy tính cầm tay để tính các căn và lũy thừa của một số 

Tuy sách giáo lkhoa (SGK) không trình bày cách tính các căn và lũy thừa của một số nhưng trong thực tế đa số các học sinh đều sử dụng một trong các loại máy CASIO

fx-500 hoặc fx-570 (MS hoặc ES hoặc ES Plus). Vì vậy chúng tôi cũng giới thiệu vắn tắt cách tính thông qua một số ví dụ để các em tiện sử dụng:

1) Tính căn của một số: Trước hết các em phải vào mode tính toán bằng cách ấn các phím MODE,1. Sau đó nhập số cần lấy căn kết thúc nhấn phím = ta được kết quả. Với căn bậc hai và căn bậc ba thì không cần nhập chỉ số căn, với các căn bậc bốn trở lên thì các em cần nhập chỉ số căn (các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx-570 MS các em nhập chỉ số căn ấn các phím SHIFT, (sqrt[x]{^{}}) máy CASIO fx-570MS các em ấn các phím SHIFT, (sqrt[square ]{^{^{}}}) nhập chỉ số ( riangleright), sau đó nhập số cần lấy căn cuối cùng ấn phím = để được kết quả.

Ví dụ 1. Để tính (sqrt{23,425}) các em (sau khi đã vào mode)cần ấn các phím √, 2, 3, ., 4, 2, 5, = . Màn hình hiện thị kết quả   4.839938016. Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy được kết quả là  (sqrt{23,425})= 4,8399.

Ví dụ 2. Tính (sqrt[3]{8,532}). Ta ấn lên tiếp các phím SHIFT, , 8, ., 5, 3, 2, = màn hình hiện thị kết quả 2.043385382. Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy ta được kết quả là (sqrt[3]{8,532})= 2,0434.

Ví dụ 3. Tính (sqrt[7]{320}).

- Với các máy CASIO fx- 500 MS và CASIO fx-570 MS, ấn liên tiếp các phím 7, SHIFT, (sqrt[x]{^{}}), 3, 2, 0, = màn hình hiện kết quả 2.279704562. Làm tròn đến bốn chữ số sau dấu phẩy ta được kết quả (sqrt[7]{320}) ≈  2,2797.

- Với máy CASIO fx-570 ES, ấn liên tiếp các phím SHIFT, (sqrt[square ]{^{^{}}}), 7, ( riangleright), 3, 2, 0,=. Ta cũng được kết quả như trên.

2) Tính lũy thừa của một số: Vào mode tính toán, nhập cơ số, ấn phím số mũ, nhập số mũ, ấn phím = ta được kết quả. (Với các máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx- 579 MS thì ấn phím số mũ là ấn phím (wedge); với máy CASIO fx-570 ES thì ấn phím số mũ là ấn phím (x^{square})).

Ví dụ: Sử dụng máy tính cầm tay , tính (left ( 0,5^{sqrt{2}} ight )^{sqrt{8}}).

Với máy CASIO fx-500 MS và CASIO fx- 570 MS ấn liên tiếp: (, 0, ., 5, (wedge), (sqrt{}),2, ), (wedge), (sqrt{}), 8, = màn hình sẽ hiện kết quả là 0,0625. Vậy (left ( 0,5^{sqrt{2}} ight )^{sqrt{8}})= 0,0625 √√x^□ )