Lý thuyết hàm số lũy thừa

Lý thuyết hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

1. Khái niệm hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa là các hàm số dạng y= x^α, với α là một số thực đã cho. Các hàm số  lũy thừa có tập xác định khác nhau, tùy theo α: 

- Nếu α ∈ ℤ⁺ thì tập các định là ℝ.

- Nếu α ∈ ℤ ℤ⁺ thì tập các định là ℝ{0}.

- Nếu α ∈ ℤ thì tập các định là (0; +∞).

Chú ý: Hàm số y=  có tập xác định là [0;+∞), hàm số y=  có tập xác định ℝ, trong khi đó các hàm y= , y=  đều có tập xác định (0; +∞). Vì vậy  y=  và y=  ( hay y=  và y=  ) là những hàm số khác nhau.

2. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ tổng quát 

- Hàm số y= x^α  có đạo hàm tai mọi x ∈ (0; +∞) và (x^α)^’= αx^α-1

- Nếu hàm số u=u(x) nhận giá trị dương và có đạo hàm trong khoảng J thì hàm số 

y= u^α(x) cũng có đạo hàm trên J và (u^α(x))^’= αu^α-1(x)u’(x).

3. Đạo hàm của hàm số lũy thừa với số mũ nguyên dương

Trong trường hợp số mũ nguyên dương, hàm số lũy thừa y= xⁿ có tập xác định là ℝ và có đạo hàm trên toàn trục số. Công thức tính đạo hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x, (xⁿ)^’= nx^n-1 và  ∀x ∈ J, (uⁿ(x))^’= nu^n-1(x)u^’(x) nếu u= u(x) có đạo hàm trong khoảng J.

4. Đạo hàm của hàm số  lũy thừa với số mũ nguyên âm

Nếu số mũ là số nguyên âm thì hàm số lũy thừa y= xⁿ có tập xác định là ℝ và có đạo hàm tại mọi x khác 0, công thức đạo hàm hàm số lũy thừa tổng quát được mở rộng thành ∀x # 0,(xⁿ)^’= nx^n-1 và  ∀x ∈ J, (uⁿ(x))^’= nu^n-1(x)u^’(x) nếu  u= u(x) # 0 có đạo hàm trong khoảng J.

5. Đạo hàm của căn thức 

Hàm số có thể xem là mở rộng của hàm lũy thừa  ( tập xác định của y=  chứa tập xác định của  y=  và trên tập xác định của y=  hai hàm số trùng nhau).

Khi n lẻ thì hàm số y=  có tập xác định ℝ. Trên khoảng (0; +∞) ta có y=  =  và = , do đó = . Công thức này còn đúng cả với x < 0 và hàm số y=  không có đạo hàm tại x= 0.

Khi n chẵn hàm y=  có tập xác định là  [0;+∞), không có đạo hàm tại x= 0 và có đạo hàm tại mọi x > 0 tính theo công thức

 = .

Tóm lại, ta có    đúng với mọi x làm cho vế phải có nghĩa. Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp ta suy ra: Nếu u=u(x) là hàm có đạo hàm trên khoảng J và thỏa mãn điều kiện u(x) > 0, ∀x ∈ J khi n chẵn, u(x) # 0, ∀x ∈ J khi n llẻ thì ∀x ∈ J, 

6. Đồ thị hàm số y=x^α trên khoảng (0; +∞)

Chú ý khi khảo sát hàm số y= x^α với α cụ thể cần xét hàm số trên toàn tập xác định của nó( chứ không phải chỉ xét trên khoảng (0; +∞) như trên).