Lý thuyết cực trị của hàm số

Lý thuyết cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x ∈ (a ; b).

Tóm tắt kiến thức.

1. Định nghĩa 

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và điểm x₀ ∈ (a ; b).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h ; x₀ + h), x ( eq) x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực đại tại x₀ .

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x₀), ∀x ∈ (x₀ - h ; x₀ + h), x ( eq) x₀ thì ta nói hàm số f đạt cực tiểu tại x₀ .

2. Định lí 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x₀ - h ; x₀ + h) (h > 0) và có đạo hàm trên K hoặc trên K (setminus){ x₀ }.

Nếu (left{ matrix{f'left( x ight) > 0|forall left( {{x_0} - h;,,{x_0}} ight) hfill cr f'left( x ight) < 0|forall left( {{x_0};,,{x_0} + h} ight) hfill cr} ight.) thì x₀ là điểm cực đại của hàm số

Nếu (left{ matrix{f'left( x ight) < 0|forall left( {{x_0} - h;,,{x_0}} ight) hfill cr f'left( x ight) > 0|forall left( {{x_0};,,{x_0} + h} ight) hfill cr} ight.) thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số 

3. Định lí 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng K = (x₀ - h ; x₀ + h) (h > 0).

- Nếu f'(x₀) = 0, f'(x₀) > 0  thì x₀ là điểm cực tiểu của hàm số f.

- Nếu f'(x₀) = 0, f'(x₀) < 0 thì x₀ là điểm cực đại của hàm số f.

4. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1

- Tìm tập xác định.

- Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng f'(x) không xác định.

- Lập bảng biến thiên.

- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

- Tìm tập xác định.

- Tính f'(x). Tìm các nghiệm (x_{i}) của phương trình f'(x)=0.

- Tính f'(x) và f'((x_{i})) suy ra tính chất cực trị của các điểm (x_{i}).

(Chú ý: nếu f'((x_{i}))=0 thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại (x_{i}))