lời giải phương trình vi phân bậc hai

đáp ứng tự nhiên

đáp ứng tự nhiên là lời giải phương trình (5.3)

y_n có dạng hàm mũ: y_n=ae^st (5.6)

lấy đạo hàm (5.6), thay vào (5.10), ta được

as²e^st+aa₁se^st+aa₀e^st=0

ae^st(s²+a₁s+a₀)=0

vì ae^st không thể =0 nên

s²+a₁s+a₀=0 (5.7)

(5.7) được gọi là phương trình đặc trưng, có nghiệm là:

(5.8)

ứng với mỗi trị của s ta có một đáp ứng tự nhiên:

(5.9)

trở lại thí dụ 5.1, đáp ứng tự nhiên của mạch:

các loại tần số tự nhiên

dùng công thức euler:

trong đó b₁ và b₂ xác định theo a₁ và a₂ :

các kết quả trên có thể tóm tắt trong bảng 5.1

bảng 5.1

thí dụ 5.2 xác định đáp ứng tự nhiên v_n trong mạch (h 5.3)

(h 5.3)

phương trình nút a:

(1)

phương trình vòng bên phải

(2)

thay i từ (1) vào (2)

(3)

lấy đạo hàm (3) và đơn giản

(4)

đáp ứng tự nhiên là lời giải phương trình:

(5)

phương trình đặc trưng và các nghiệm của nó:

kết quả ứng với vài giá trị cụ thể của điện trở r:

thí dụ 5.3 xác định dòng i(t) trong mạch (h 5.4). cho v_g = 1 v là nguồn dc

(h 5.4)

phương trình mạch:

lấy vi phân 2 vế , thay các trị số vào:

phương trình đặc trưng và các nghiệm :

vậy i(t)=i_n(t)=a₁e^-t+a₂e^-2t

đáp ứng ép

trường hợp tổng quát

đáp ứng ép của một mạch bậc 2 phải thỏa phương trình (5.4). có nhiều phương pháp để xác định đáp ứng ép; ở đây ta dùng phương pháp dự đoán lời giải: trong lúc giải phương trình cho các mạch bậc 1, ta đã thấy đáp ứng ép thường có dạng của hàm kích thích, điều này cũng đúng cho trường hợp mạch điện có bậc cao hơn, nghĩa là, nếu hàm kích thích là một hằng số thì đáp ứng ép cũng là hằng số, nếu hàm kích thích là một hàm mũ thì đáp ứng ép cũng là hàm mũ. . ..

(h 5.5)

xét mạch thí dụ 5.1 với v_g=16v

(1)

đáp ứng ép i_2f là hằng sô: i_2f=a (2)

lấy đạo hàm (2) và thay vào pt (1):

ta có thể xác định i_2f nhờ mạch ở trạng thái thường trực dc: (h 5.5)

i_2f=16/8=2 a

và đáp ứng đầy đủ của mạch:

bảng 5.2 cho kết quả đáp ứng ép ứng với các nguồn kích thích khác nhau

bảng 5.2