HÀM BESSEL

Hàm Bessel loại 1 là giải đáp của phương trình vi phân:

Mặc dù hàm Bessel được định nghĩa cho tất cả trị giá của n, ta chỉ quan tâm đến các số nguyên thực dương và âm.

Với những trị nguyên của n,

J_-n(x) = (-1)ⁿ J_n(x).

Hình 5.6, vẽ J_n cho những trị của n = 0, 1 và 2. Nhớ là với x rất nhỏ, J₀(x) tiến đến 1 trong lúc J₁(x) và J₂(x) tiến đến zero. ( Xem hình trang sau ).

Ta hãy xem hàm Bessel khi n trở nên lớn. Ta khảo sát một điểm đặc biệt trên các đường cong. Hình 5.7, vẽ J_n (10) là một hàm của n.

- Khi n âm, hàm trở nên dao động không tắt ( under damped oscillator ).

- Với những trị n dương, ta lưu ý đến tính đối xứng của phương trinh (5.23).

- Một quan sát quan trọng là, với n > 9, hàm Bessel tiến đến tiệm cận với zero. Thật vậy, với n cố định và beta lớn, hàm Bessel có thể tính xấp xỉ bởi:

(5.24)

Trong đó T (n+1) là hàm Gamma.

Hình 5.6: Hàm Bessel cho n = 0, 1 và 2.

Hàm Gamma tiến đến vôcung với các suất lớn hơn 2. Thí dụ, trị giá của hàm Gamma ứng với các suất 2, 3, 4, 5 và 6 là 1, 2 , 6, 24 và 120. Vì hàm Gamma nằm ở mẫu số, có thể thấy rằng hàm Bessel giảm rất nhanh khi n tăng. Đó là một tính chất chính tắc để tim khổ băng của sóng FM.

Hình 5.7: J_n (10) là một hàm của n.

Trở lại phương trình (5.23), ta thấy các hệ số Fourier được cho bởi: C_n = J_n (beta).

Và sóng FM trở nên:

Vì e^j2pifct khônglà một hàm của n, ta đem vào dấu tổng:

Và lấy phần thực:

Ta đã rút gọn sóng FM thành tổng của các Sinusoids. Biến đổi F của tổng này là một chuỗi xung lực.

Hình 5.8: Biến đổi F của FM, đối với tin tức là Sinusoids.

Ta đang gặp phải một rắc rối lớn ! Biến đổi này mở rộng theo cả 2 chiều từ tần số sóng mang. Nó có một khổ băng rộng vô hạn. Dù J_n(beta) tiến đến zero tại vài trị giá, nhưng khổ băng rộng thì không bị giới hạn. Như vậy, ta không thể truyền có hiệu quả và cũng không thể phối hợp nhiều nguồn tin riêng lẻ vào chung một kênh ( Multiplexing ) ( vì trùng f ).

Với beta không đổi, các hàm Jn(beta) tiến đến zero khi n tăng. Với sự chọn lựa beta, số hạng J0(beta) tiến đến zero và sóng mang bị loại. Trong trường hợp AM, sự loại bỏ sóng mang làm tăng hiệu suất. Nhưng đối với FM, sự loại sóng mang không được lợi gì cả vì công suất toàn phần giữ không đổi.

Để tính xấp xỉ khổ băng của sóng FM, ta xem các xung hình 5.8. Trước hết, ta chọn một trị betanhỏ. Từ hình 5.6, ta thấy rằng, nếu beta < 0,5 thì J₂(beta) < 0,03. Các hàm Bessel bậc cao hơn (n > 2) thì nhỏ hơn. Tại beta=0,5, J₁ là 0,24. Với những trị nhỏ nầy của beta, biến đổi F ở hình 5.8 chỉ bao gồm 5 xung lực gần sóng mang. Đó là, thành phần tại sóng mang và 2 thành phần cách ± f_m kể từ sóng mang. Điều đó, cho một khổ băng là 2 f_m. Ta đã biết điều đó vì những trị rất nhỏ của beta(aK_f/f_m) tương ứng với điều kiện băng hẹp.

Bây giờ, giả sử beta không nhỏ, thí dụ beta = 10. Những tính chất mà ta nói ở trên chỉ rằng J_n(10) sẽ giảm nhanh chóng, khi n > 10. Xem hình 5.8, ta thấy những thành phần có ý nghĩa là sóng mang và 10 họa tần mỗi bên của sóng mang. Một cách tổng quát: Với beta lớn,số số hạng (thành phần) ở mỗi bên của sóng mang là beta ( được làm tròn số nguyên ). Điều đó cho một khổ băng là 2betaf_m.

Gần đây, Jonh Carson đưa ra định luật: Khổ băng của sóng FM thì xấp xỉ bằng hàm của tần số tín hiệu chứa tin và chỉ số biến điệu:

B_W = 2(betaf_m + f_m) (5.27)

Điều đó thừa nhận 2 trường hợp giới hạn. Với beta rất nhỏ, khổ băng = 2f_m và ngược lại với beta lớn, khổ băng = 2betaf_m.

Thay beta = aK_f/f_m vào (5.27):

B_W = 2(aK_f+f_m) (5.28)

* Ta nhớ lại tần số tức thời được cho bởi phương trình (5.18):

f_i (t)=f_C + aK_f cos2pif_mt

Ta thấy rằng f_m là nhịp thay đổi của f_i (t) ,trong lúc aK_f là trị tối đa mà nó dời tần từ sóng mang - cả 2 đại lượng ấy điều tham gia vào khổ băng của sóng FM.

Thí dụ: Tìm băng xấp xỉ của các tần số bị chiếm bởi sóng FM với sóng mang có tần số 5khz, K_f = 10Hz/V và:

s(t) = 10 cos10pit.

s(t) = 5 cos20pit.

s(t) = 100 cos2000pit.

Giải:

B_W = 2(aK_f+fm) = 2[10(10)+5] = 210Hz.

B_W = 2(aK_f+fm) = 2[5(10)+10] = 120Hz.

B_W = 2(aK_f+fm) = 2[100(10)+1.000] = 4khz.

Băng của những tần số bị chiếm:

4895 đến 5105 Hz.

4940 đến 5060 Hz.

3 đến 7 Khz.

Phương trình (5.28) được khai triển cho trường hợp đặc biệt của một tín hiệu chứa tin hình Sinusoide. Nếu sự biến điệu là tuyến tính, thì ta có thể áp dụng công thức này cho thành phần tần số cao nhất của s(t) để tìm khổ băng. Nhưng, FM thì không tuyến tính nên cách ấy không đúng.

Ta sẽ tìm một công thức tương tự cho trường hợp tổng quát. Hình 5.9, chỉ tần số tức thời của trường hợp đặc biệt mà tín hiệu chứa tin Sinusoide và trường hợp tổng quát.

Hình 5.9: Tần số tức thời

Trong trường hợp s(t) hình sin, aK_f là độ dời tần tối đa của tần số so với f_c. Và trong trường hợp tổng quát độ dời tần tối đa tương tự ký hiệu là deltaf. Công thức tổng quát cho (5.28) là:

(5.29)

-Nếu deltaf rất lớn so với f_m, ta có FM băng rộng, và tần số của sóng mang thay đổi một khoảng rộng, nhưng với nhịp độ chậm. Tần số tức thời của sóng mang thay đổi chậm từ f_C-deltaf đến f_C+deltaf. Như vậy sóng FM xấp xỉ với một Sinusoide thuần trong một thời gian dài. Ta có thể nghĩ là nó là tổng của nhiều Sinusoide với các tần số nằm giữa 2 giới hạn. Nên biến đổi F thì gần bằng với sự chồng ( Superposition ) các biến đổi F của những sinusoide ấy tất cả nằm trong giới hạn tần số. Vậy thực hợp lý để giả sử rằng khổ băng thì xấp xỉ với bề rộng của khoảng tần số này, hoặc 2deltaf.

-Nếu deltaf rất nhỏ, ta có một sóng mang thay đổi trong một khoảng rất nhỏ của tần số, nhưng với nhịp độ nhanh. Ta có thể tính gần đúng bằng 2 mạch giao động tại những giới hạn tần số. Mỗi giao động được “ Cổng hóa “ trong nửa thời gian toàn thể. Băng của các tần số bị chiếm bởi output của H 5.10 là từ f_C - deltaf - fm đến f_C + deltaf + fm.

Với deltaf nhỏ, => khổ băng là 2f_m .

Ta thấy khổ băng của sóng FM tăng với sự tăng trị giá của K_f. Về điểm nầy, sự dùng FM băng hẹp ( với khổ băng tối thiểu 2f_m ) là hợp lý. Nhưng, FM băng rộng lại có ưu điểm về triệt nhiễu hơn cả FM băng hẹp và AM.

Hình 5.10: Xấp xỉ của FM băng hẹp

Ví dụ: Một sóng mang 10MHz được biến điệu FM bởi một tín hiệu Sinusoide có tần số 5KHz, sao cho độ dời tần tối đa của sóng FM là 500KHz - Tìm băng xấp xỉ của các tần số bị chiếm bới sóng FM.

Giải:

Khổ băng xấp xỉ

B_W = 2(deltaf + f_m).

B_W = 2(500KHz + 5KHz) = 1.010 KHz .

Vậy băng của tần số bị chiếm thì tập trung quanh tần số sóng mang, và trong khoảng từ 9.495 đến 10.505KHz. Tín hiệu FM ở thí dụ nầy là băng rộng. Nếu nó là băng hẹp, khổ băng sẽ chỉ là 10KHz.

Thí dụ: Một sóng mang 100KHz bị biến điệu FM bởi một tín hiệu sinusoide có biên độ 1V. K_f có trị 100Hz/V.

Tìm khổ băng xấp xỉ của sóng FM nếu tín hiệu biến điệu có một tần số 10KHz.

Giải:

Ta lại dùng phép tính xấp xỉ của Carson:

B_W = 2(deltaf + f_m)

Vì tín hiệu chứa tin s(t) có biên độ đơn vị, độ dời tần tối đa deltaf được cho bởi k_f , hoặc 100Hz .

f_m là 10 Khz, tần số của tín hiệu biến điệu. Vậy :

B_W = 2(100Hz + 10 Khz) = 20.200Hz .

Vì f_m rất lớn so với deltaf , đây là tín hiệu FM băng hẹp. Khổ băng cần thiết để truyền cùng tin tức khi dùng DSB AM sẽ là 20KHz, xấp xỉ với khổ băng của sóng FM nầy.

Ví du: Một sóng biến điệu góc được mô tả bởi:

landa(t) = 10 cos[2 x 10⁷pit + 20cos1000pit]

Tìm khổ băng xấp xỉ của sóng nầy.

Giải:

f_m là 500Hz. Để tính deltaf, trước hết ta tìm tần số tức thời:

Độ dời tần tối đa của 10.000 sin1000pit, hoặc 10KHz. Vậy khổ băng xấp xỉ được cho bởi:

B_W = 2( 10.000 + 500 ) = 21khz .

Rõ ràng đây là một sóng FM băng rộng vì deltaf rất lớn so với f_m. Nhớ là ta không biết đây là biến điệu tần số hoặc pha khi tìm khổ băng.