Giải Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Giải Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Bài 1 (trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x³+2x-1 tại x₀=3.

Lời giải:

Bài 2 (trang 141 SGK Đại số 11):

b.Trong biểu thức g(x) ở trên, cần thay số 5 bởi số nào đó để hàm số liên tục tại x₀=2.

Lời giải:

Bài 3 (trang 141 SGK Đại số 11):

Lời giải:

a. Đồ thị hàm số ( hình bên). Từ đồ thị ta thấy số gián đoạn tại x = -1.

Bài 4 (trang 141 SGK Đại số 11):

Lời giải:

Bài 5 (trang 141 SGK Đại số 11): Ý kiến sau đúng hay sai?

"Nếu hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x0 và hàm số y = g(x) không liên tục tại x₀, thì y = f(x) + g(x) là một hàm số không liên tục tại".

Lời giải:

Ý kiến trên đúng, vì y = h(x) = f(x) + g(x) liên tục tại x₀ thì h(x) – f(x) = g(x) liên tục tại x₀ (theo định lý 2 về hàm số liên tục) trái với giả thiết g(x) không liên tục tại x₀.

Bài 6 (trang 141 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng phương trình:

a.2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

b. cos x = x có nghiệm

Lời giải:

a.Đặt f(x) = 2x³ – 6x + 1

TXĐ: D = R

Ta có: f(-2) = 2.(-2)³– 6(-2) + 1 = – 3 < 0

f(-1) = – 2 + 6 + 1 = 5 > 0

f(-2).f(-1) < 0

Mà f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên liên tục trên tập R. Do đó f(x) liên tục trên (-2; -1).

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x₀ ∈(-2; -1).

Tương tự ta có:

f(-1) = 2(-1)³ – 6(-1) + 1 = 5

f(1) = 2 – 6 + 1 = -3

f(-1).f(1) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm x₀ ∈ (-1;1).

Vì các đoạn (-2; -1) và (-1; 1) rời nhau nên các nghiệm nói trên không thể trùng nhau. Vậy phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm.

b.Xét hàm số g(x) = x – cos x liên tục trên R, do đó liên tục trên đoạn [- π; π] ta có:

g(- π) = – π – cos (- π) = – π + 1 < 0

g( π) = π – cos π = π – (-1) = π + 1 > 0

g(- π). g( π) <0

Theo định lí 3, phương trình x – cos x = 0 có nghiệm trong (- π; π) tức là cos x = x có nghiệm.