GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHẦN III

Bảng 2.3: Giải bằng phương pháp Runge-Kutta
Thời Sức Dòng en+ en+1 k1 k2 gian điện điện k1 -------- in + --- k2 in + --- k3 en+1 in + k3 k4 Δintn động in 2 2 2 en	0,000 0,000 0,00000 0,00000 0,0625 0,00000 0,00156 0,00078 0,00154 0,125 0,00154 0,00309 0,001550,025 0,125 0,00155 0,00309 0,1875 0,00310 0,00461 0,00386 0,00459 0,250 0,00614 0,00610 0,004600,050 0,250 0,00615 0,00610 0,3125 0,00920 0,00758 0,00994 0,00756 0,375 0,01371 0,00903 0,007570,075 0,375 0,01372 0,00903 0,4375 0,01824 0,01048 0,01896 0,01046 0,500 0,02418 0,01189 0,010470,100 0,500 0,02419 0,01189 0,5625 0,03014 0,01331 0,03084 0,01329 0,625 0,03748 0,01468 0,013300,125 0,625 0,03749 0,01468 0,6875 0,04483 0,01606 0,04552 0,01604 0,750 0,05353 0,01740 0,01605 0,750 0,05354 0,01740 0,8125 0,06224 0,01874 0,06291 0,01872 0,875 0,07226 0,02004 0,01873 0,175 0,875 0,07227 0,02004 0,9375 0,08229 0,02134 0,08294 0,02132 1,000 0,09359 0,02260 0,021330,200 1,000 0,09360 0,02260 1,0000 0,10490 0,02229 0,10475 0,02230 1,000 0,11590 0,02199 0,022300,225 1,000 0,11590 0,02199 1,0000 0,12690 0,02167 0,12674 0,02168 1,000 0,13758 0,02137 0,021680,250 1,000 0,13758 0,02137 1,0000 0,14827 0,02105 0,14811 0,02105 1,000 0,15863 0,02073 0,021050,275 1,000 0,15863 0,02073 1,0000 0,16900 0,02041 0,16884 0,02042 1,000 0,17905 0,02009 0,02041
n	0123456789101112

Bảng 2.4: Bài giải bằng phương pháp của Milne.

N	Thời gian Sức điện Dòng điện Dòng điệntn động en (dự đoán) in i’n (sửa đổi) in
456789101112	0,100 0,500 0,02418 0,47578 0,024190,125 0,625 0,03748 0,58736 0,037480,150 0,750 0,05353 0,69601 0,053530,175 0,875 0,07226 0,80161 0,072260,200 1,000 0,09359 0,90395 0,093580,225 1,000 0,11742 0,87772 0,116390,87888 0,11640+0,250 1,000 0,13543 0,85712 0,137550,85464 0,13753+0,275 1,000 0,16021 0,82745 0,159110,82881 0,15912+0,300 1,000 0,17894 0,80387 0,178980,80382 0,17898+

+ : giá trị sửa đổi thứ hai thu được bởi vòng lặp

d. Phương trình dùng phương pháp Picard hàm tương đương khởi đầu cho i, cận i₀ = 0 là:

Thay thế e(t) = 5t và giá trị ban đầu i₀ = 0

Thay i⁽¹⁾ cho i trong phương trình tích phân, thu được:

Quá trình tiếp tục, ta được:

Giới hạn chuổi sau số hạn bậc bốn là:

Nếu hàm dùng xấp xỉ i chính xác bốn số thập phân với số hạn xấp xỉ đầu tiên không chú ý đến sai số lớn thì .

5log t  log0,00120

log t  9,415836 - 10

t  0,2605

Giá trị giới hạn là hàm xấp xỉ hợp lý. Vì vậy, trong ví dụ này hàm có thể dùng chỉ để thu được y cho trong khoảng 0  t  0,2; Bởi vì cho t > 0,2 thì e(t) = 1. Cho nên, hàm xấp xỉ khác phải chính xác cho trong khoảng 0,2  t 0,3 như sau:

Cuối cùng, ta có:

i⁽³⁾ = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) - 0,48762(t - 0,2)² -

- 0,05420(t - 0,2)³ - 0,30611(t - 0,2)⁴ + 0,86646(t - 0,2)⁵ ....

Chuỗi giới hạn, hàm xấp xỉ là:

i = 0,09367 + 0,90386(t - 0,2) -

- 0,48762(t - 0,2)² - 0,05420(t - 0,2)³ - 0,30611(t - 0,2)⁴

Cho i hiệu chỉnh trong bốn số thập phân, ta có:

0,86646(t - 0,2)⁵  0,00005

(t - 0,2)  0,14198

Hàm hợp lý cho trong khoảng 0,2  t 0,342

Giá trị thu được bằng phương pháp Picard được đưa vào trong bảng 2.5.

SO SÁNH CÁC PHƯƠNG PHÁP.

Trong bài giải của phương trình vi phân hàm quan hệ giữa biến phụ thuộc y và biến độc lập x cần tìm để thỏa mãn phương trình vi phân. Bài giải trong giải tích là rất khó và có một số vấn đề không thể tìm được. Phương pháp số dùng để tìm lời giải bằng cách biểu diễn y như một số hàm của biến độc lập x từ mỗi giá trị xấp xỉ của y có thể thu được bằng sự thay thế hoàn toàn hay biểu diễn tương đương quan hệ giữa các giá trị liên tiếp của y xác định cho việc chọn giá trị của x. Phương pháp Picard là phương pháp số kiểu đầu tiên. Phương pháp Euler, Runge-Kutta, và Milne là ví dụ cho kiểu thứ hai.

Khó khăn chủ yếu phát sinh từ phương pháp xấp xỉ y bằng hàm số, như phương pháp Picard, tìm thấy trong lần lặp lại sự tích phân hiện tại phải thực hiện để thu được hàm thỏa mãn. Vì vậy phương pháp này là không thực tế trong hầu hết các trường hợp và ít được dùng.

Bảng 2.5: Giải bằng phương pháp Picard.

n	Thời gian tn	Sức điện động en	Dòng điện in
0123456789101112	00,0250,0500,0750,1000,1250,1500,1750,2000,2250,2500,2750,300	00,1250,2500,3750,5000,6250,7500,8751,0001,0001,0001,0001,000	00,001550,006150,013720,024190,037490,053540,072290,093670,115960,137640,158680,17910

Các phương pháp theo kiểu thứ hai đòi hỏi phép tính số học đơn giản đo đó thích hợp cho việc giải bằng máy tính số của các phương trình vi phân. Trong trường hợp tổng quát, đơn giản quan hệ đòi hỏi dùng trong một khoảng nhỏ cho các biến độc lập nhưng ngược lại nhiều phương pháp phức tạp có thể dùng trong khoảng tương đối lớn tốn nhiều công sức trong việc chính xác hóa lời giải. Phương pháp Euler là đơn giản nhất, nhưng trừ khi khoảng tính rất nhỏ thì dùng nó cũng không đúng với thực tế. Phương pháp biến đổi Euler cũng sử dụng đơn giản và có thêm thuận lợi kiểm tra hệ thống vốn có trong quá trình thu được để cải thiện sự ước lượng cho y. Phương pháp có sự chính xác giới hạn, vì vậy đòi hỏi dùng khoảng giá trị nhỏ cho biến độc lập. Phương pháp Runge-Kutta đòi hỏi số rất lớn của phép tính số học, nhưng kết quả cũng không chính xác.

Phương pháp dự đoán sửa đổi của Milne là ít khó khăn hơn phương pháp Runge-Kutta và so sánh được độ chính xác của bậc h⁵. Vì vậy, phương pháp của Milne đòi hỏi có bốn giá trị ban đầu cho biến phụ thuộc phải thu được bằng một số phương pháp khác, hầu như phương pháp biến đổi Euler hay phương pháp Runge-Kutta, là như nhau. Trong sự ứng dụng máy tính cho phương pháp số. Chương trình đòi hỏi bắt đầu lời giải như phương pháp của Milne. Lời giải tiếp tục dùng công thức khác cho dự đoán và sau đó sửa chữa giá trị của y cung cấp quá trình hệ thống cho kiểm tra tốt bằng sửa chữa ước lượng ban đầu. Nếu sự khác nhau giữa dự đoán và giá trị chính xác là đáng kể, khoảng tính có thể được rút gọn lại. Khả năng trong phương pháp của Milne không có hiệu lực trong phương pháp Runge-Kutta.

Bài tập:

2.1. Giải phương trình vi phân.

Cho 0  t  0,3; với khoảng phương trình 0,05 và giá trị ban đầu x₀ = 0 và y₀ = 1, bằng các phương pháp số sau đây.

1. Euler
2. Biến đổi Euler.
3. Picard
4. Xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta
5. Milne dùng giá trị bắt đầu thu được phương pháp Runge-Kutta

2.2. Giải bằng phương pháp biến đổi Euler hệ phương trình vi phân.

Cho 0  t  1,0; Với khoảng phương trình 0,2 và giá trị ban đầu i₀ = 0,x₀ = 0 và

y₀ = 1

2.3. Giải bằng xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta phương trình vi phân bậc hai.

y’’ = y + xy’

Cho 0  x  0,4; Với khoảng phương trình 0,1 và giá trị ban đầux₀ = 0,y₀ = 1, và y’₀ = 0