Giải bài tập trang 79 SGK Đại số 10: Bất đẳng thức

Giải bài tập trang 79 SGK Đại số 10: Bất đẳng thức

 hướng dẫn giải chi tiết các bài tập trong sách giáo khoa, hi vọng sẽ giúp các em học tốt môn Toán lớp 10. Mời các em cùng tham khảo.

Giải bài tập trang 68 SGK Đại số 10: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Giải bài tập trang 70, 71, 72 SGK Đại số 10: Ôn tập chương 3

Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 79 SGK Đại số 10: Bất đẳng thức

Bài 1 trang 79 SGK Đại số lớp 10

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?

a) 8x > 4x;                             b) 4x > 8x;

c) 8x² > 4x²;                         d) 8 + x > 4 + x.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:

a) Nếu x < 0 thì a) sai;

b) Nếu x > 0 thì b) sai;

c) Nếu x = 0 thì c) sai;

d) Đúng với mọi giá trị của x.

Bài 2 trang 79 SGK Đại số lớp 10

Cho số x > 5, số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?

Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:

Với x > 5 thì

Vậy với cùng số x > 5 thì biểu thức C = 5/x - 1 có giá trị nhỏ nhất.

Bài 3 trang 79 SGK Đại số lớp 10

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh (b - c)² < a²;

b) Từ đó suy ra a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:

a) Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.

a + b > c => a + b – c > 0

a + c > b => a + c – b > 0

=> [a + (b + c)](a – (b – c)) > 0

=> a² – (b - c)² > 0 => a² > (b - c)².

b) Từ kết quả câu a), ta có:

a² + b² + c² > (b - c)² + (a – c)² + (a – b)²

<=> a² + b² + c² > b² + c² – 2bc + a2 + c² – 2ac + a² + b² – 2ab

<=> 2(ab + bc + ac) > a² + b² + c².

Bài 4 trang 79 SGK Đại số lớp 10

Chứng minh rằng:

x³ + y³ ≥ x²y + xy², ∀x ≥ 0, ∀y ≥ 0.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:

Ta có: (x – y)² ≥ 0 <=> x² + y² – 2xy ≥ 0

<=> x² + y² – xy ≥ xy

Do x ≥ 0, y ≥ 0 => x + y ≥ 0,

Ta có (x + y)(x² + y² – xy) ≥ (x + y)xy <=> x³ + y³ ≥ x2y + xy².

Bài 5 trang 79 SGK Đại số lớp 10

Chứng minh rằng

x⁴ – √x⁵ + x – √x + 1 > 0, ∀x ≥ 0.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:

Đặt √x = t, x ≥ 0 => t ≥ 0.

Vế trái trở thành: t⁸ – t⁵ + t² – t + 1 = f(t)

Nếu t = 0, t = 1, f(t) = 1 >0

Với 0 < t <1, f(t) = t8 + (t² – t⁵) +1 – t

t⁸ > 0, 1 – t > 0, t² – t⁵ = t³(1 – t) > 0. Suy ra f(t) > 0.

Với t > 1 thì f(t) = t⁵(t³ – 1) + t(t – 1) + 1 > 0

Vậy f(t) > 0 ∀t ≥ 0. Suy ra: x⁴ – √x⁵ + x – √x + 1 > 0, ∀x ≥ 0.

Bài 6 trang 79 SGK Đại số lớp 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 6:

Ta có: 2S_OAB = AB.OH = AB (vì OH = 1).

Vậy diện tích ∆OAB nhỏ nhất khi AB có độ dài ngắn nhất.

Vì AB = AH + HB mà AH.HB = OH² = 1 nên AB có giá trị nhỏ nhất khi AH = HB tức ∆OAB vuông cân: OA = OB và

AB = 2AH = 2OH = 2.

AB² = 4 = 2OA2 = 2OH = OA = OB = √2.

Khi đó tọa độ của A, B là A(√2; 0) và B(0; √2).