Giải bài ôn tập chương 2 hình học 9 – Đường tròn: Bài 41,42,43 trang 128 SGK Toán 9…

Đáp án và hướng dẫn giải bài ôn tập chương 2 hình học 9 – Đường tròn: Bài 41, 42, 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1.

A. Tóm tắt kiến thức cần nhớ chương 2 hình học lớp 9

CÁC ĐỊNH NGHĨA

1. Đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điếm cách điểm O một khoáng bằng R.
2. Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng chí có một điểm chung với đường thẳng đó.

CÁC ĐỊNH LÍ

1. a)Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

2. a) Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

b) Đường tròn là hình có trục đối xứng. Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.

3. Trong các dây cùa một đường tròn, đáy lớn nhất là đường kính.

4. Trong một đường tròn :

a) Đường kính vuông góc với một dây thì di qua trung điểm của dây ấy.

b) Đường kính đi qua trung điểm cùa một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

5. Trong một đường tròn :

a) Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm, hai dây cách đều lâm thì bằng nhau,

b) Dây lớn hơn thì gần tâm hơn,dây gần tâm hơn thì lớn hơn.

6. a) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

b) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

7. Nếu hai tiếp tuyến cùa một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì :

a) Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

b) Tia kẻ từ điếm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

c) Tia kẻ từ tâm đi qua điếm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính di qua các tiếp điểm.

8. Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây cung.

Giải bài 35,36,37, 38,39,40 trang 122, 123 SGK Toán 9 tập 1:Vị trí tương đối của hai đường tròn(tiếp)

B. Đáp án và hướng dẫn giải bài tập chương 2 hình học lớp 9 – Đường tròn – SGK trang 128 Toán 9 tập 1.

Bài 41 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 – Ôn tập chương 2 hình 9

Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H. Gọi E,F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC

Đáp án và hướng dẫn giải bài 41:

a) Xét (I) và (O) có: BI + IO = BO (Do I nằm giữa B và O)
⇒ IO = BO – OI
nên (I) tiếp xúc trong với (O) (theo định nghĩa)
Xét (K) và (O) có: CK + KO = CO (Do K nừam giữa C và O)
⇒ KO = CO – CK
nên (K) tiếp xúc trong với (O) (theo định nghĩa)
Xét (I) và (K) có: IK + HK = IK (do H nằm giữa I và K)
nên (I) tiếp xúc ngoài với (K) (theo định nghĩa)

b) Có Δ ABC nội tiếp với (O) (do A;B;C ∈ (O; BC/2))

⇒AO = BO = CO = BC/2

Vậy trong ΔABC, trung tuyển OA ứng với BC bằng 1/2BC  ⇒ ΔABC vuông ở A  ⇒ ∠A = 90⁰

Xét tứ giác AFHE có:

∠E = ∠F = 90⁰ (gt)

∠A = 90⁰(cmt)

⇒ AFHE là hinh chữ nhật vì có 3 góc vuông.

c) Xét ΔAHB vuông ở H, có HE là đường cao ứng với cạnh huyền AB, Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

⇒AH² = AE.AB (1)

Xét ΔAHC vuông ở H, có HF là đường cao ứng với cạnh huyền AC, áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao ta có:

AH² = AF.AC (2)

Từ (1) và (2)suy ra AE.AB = AF.AC

d) Ta có GE = GH (theo tính chất đường chéo hình chữ nhật)

⇒ ΔGEH cân tại G ⇒ ∠E₁ = ∠H₁

Ta có IE = IH = r(I)

⇒ ΔIEH cân tại I ⇒ ∠E₂ = ∠H₂

Vậy ∠E₁ + ∠E₂ = ∠H₁ + ∠H₂ = 90⁰

Hay EF ⊥ EI ⇒ EF là tiếp tuyến của (I)

Chứng minh tương tự ⇒EF cũng là tiếp tuyến của (K)

Vậy: EF là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (I) và (K)

e) Ta có EF = AH.
Vậy EF lớn nhất khi AH lớn nhất và khi đó H trùng với tâm O của đường tròn (O)

Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 – Ôn tập chương 2 hình 9

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M’ và AC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b) ME.MO= MF.MO’
c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC.
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’

Đáp án và hướng dẫn giải bài 42:

a) Vì MA và MB là các tiếp tuyến của (O) nên ⇒ MA = MB và ∠M₁ = ∠M₂
⇒ ΔAMB cân tại M, có ME là tia phân giác của ∠AMB nên ME ⊥ AB
– Tương tự, ta có MF ⊥ AC và ∠M₃ = ∠M₄

MO và MO” là các tia phân giác của hai góc kề bù nên MO ⊥ MO’.
Do vậy AEMF là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b) ΔMAO vuông tại A, AE ⊥ MO nên ⇒ ME.MO = MA² (1)
Tương tự ta có MF.MO = MA² (2)
Từ (1) và (2) ME.MO = MF.MO

c) Theo câu a ta có MA = MB = MC nên đường tròn đường kính BC có tâm là M và bán kính MA
OO MA tại A OO là tiếp tuyến của đường tròn (M ; MA)

d) Gọi I là trung điểm của OO. Khi đó I là tâm của đường tròn có đường kính OO với IM là bán kính
Mà IM là đường trung bình của hình thang OBCO nên IM // OB // OC.
Do đó IM ⊥ BC
Ta thấy BC IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn I.

Bài 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1 – Ôn tập chương 2 hình 9

Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) cắt nhau tại A và B (R>r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O;R) và (O’;r) theo thứ tự tại C và D (Khác A).
a) Chứng minh rằng AC = AD.
b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.

Hướng dẫn giải bài 43:

a) Kẻ OM ⊥ AC và O’N ⊥ AD.
Thì M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AD. Dê thấy OMNO’ là hình thang và IA là đường trung bình nên:
AM = AN ⇒ AC = AD.

d) Dễ thấy IA = IB
⇒ IA = IK = IB
⇒ Tam giác ABK vuông tại B. Vậy KB ⊥ AB