Giải bài 27,28,29 ,30,31,32, 33,34,35 trang 79,80 Toán 9 tập 2: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Giải bài 27,28,29 ,30,31,32, 33,34,35 trang 79,80 Toán 9 tập 2: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Gợi ý chi tiết cách Giải bài tập bài 27,28,29 ,30,31 trang 79; Bài 32,33,34,35 trang 80 Toán 9 tập 2: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

Bài 27. Cho đường tròn tâm (O), đường kính AB. Lấy điểm P khác A và B trên đường tròn. Gọi T là giao điểm của AP với tiếptuyến tại B của đường tròn. Chứng minh ∠APO = ∠PBT

∠PBT là góc tạo bởi tiếptuyến BT và dâycung BP.

∠PBT  = 1/2 sđ cung PmB   (1)
∠ PAO là góc nội tiếp chắn cung PmB

∠PAO = 1/2 sđ cung PmB      (2)

Lại có ∠PAO =  ∠APO  (∆OAP cân) (3)

Từ (1), (2), (3), suy ra :   ∠APO = ∠PBT

Bài 28. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếptuyến A của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Tia PB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh đường thẳng AQ song song với tiếptuyến tại P của đường tròn (O).

Vẽ Px là tiếptuyến của (O), ta có:
Góc BAP = góc AQB ( góc BAP là góc tạo ởi tiếptuyến tại A và dây AB, góc AQB là góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
cmtt => góc BAP = góc BPx
góc AQB=BPx ( cùng = BAP) ở vị trí so le trong => AQ// Px

Bài 29. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến kẻ từ A đối với đường tròn (O’) cắt (O) tại C đối với đường tròn (O) cắt (O’) tại D.

Chứng minh rằng ∠CBA = ∠DBA

Ta có ∠CAB = 1/2 sđ cung AmB (1)
(Vì ∠CAB là góc tạo bởi một tiếp-tuyến và một dâycung đi qua tiếp điểm A của (O’))
và ∠ADB = 1/2 sđ cung AmB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ∠CBA = ∠ADB (3)
Chứng minh tương tự với đường tròn (O), ta có
∠ACB = ∠DAB (4)
Hai tam giác ABD và ABC thỏa (3) và (4) suy ra cặp góc thứ ba của chúng cũng bằng nhau. Vậy ∠CBA = ∠DBA

Bài 30 trang 79 Toán 9 tập 2 . Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp-tuyến và dâycung, cụ thể là:

Nếu góc BAx (với đỉnh A nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dâycung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp-tuyến của đường tròn (h.29).
Cách 1( hình a). Chứng minh trực tiếp

Theo giả thiết,
∠BAx = 1/2 sđ AB
Suy ra:

∠BAx = ∠O1

Hai góc nhọn này đã có một cặp cạnh vuông góc với nhau ( OC ⊥ AB).

Vậy cặp cạnh kia cũng phải vuông góc, tức là OA ⊥ Ax.

Vậy Ax phải là tiếp tuyến của (O) tại A

Cách 2 (hình b) Chứng minh bằng phản chứng.

Nếu cạnh kia không phải là tiếptuyến tại A mà là cát tuyến đi qua A và giả sử nó cắt (O) tại C thì  ∠BAC là góc nội tiếp và

∠BAC < 1/2 sđAB

Điều này trái với giả thiết (góc đã cho có số đo bằng 1/2 sđ cung AB).  Vậy cạnh kia không thể là cát tuyến, mà phải là tiếptuyến Ax

Bài 31. 

a) Tính góc ABC
Ta có ∠ABC là góc tạo bởi tiếp-tuyến BA và dây cung BC của (O)
Mà ΔOAB là tam giác đều (OB = OC = BC = R ) nên góc BOC = 60º
⇒ ∠BOC = sđ cung BC = 60º
Ta có ∠ABC = 1/2 sđ cung BC = 1/2 . 60º = 30º
Vậy ∠ABC = 30º
b) Tính ∠BAC
– Chứng minh tương tự , ta có : ∠ACB = 30º
– Trong ΔABC, ta có:
∠ABC + ∠BCA + ∠BAC = 180º
⇒ ∠BAC = 180º – (∠ABC + ∠BCA) = 180º – (30º + 30º) = 120º
Vậy góc BAC = 120º

Bài 32. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một tiếp tuyến của đường tròn tại P cắt đường thẳng AB tại T (điểm B nằm giữa O và T)

Chứng minh:

∠BTP + 2 ∠TPB = 90º
Ta có : Cung APB = 90º ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))

⇒ ∠B1 = 90º – ∠PAB (1)
mà ∠PAB = ∠TPB ( cùng chắn cung PB)
⇒ ∠B1 = 90º – ∠TPB (2)
Lại có : ∠B1 = ∠BTP + ∠TPB ( góc ngoài ΔPBT)
(1) và (2) ⇒ 90º – ∠TPB = ∠BTP + ∠TPB => ∠BTP + 2∠TPB = 90º (đpcm)

Bài 33 trang 80. Cho A, B, C là ba điểm của một đường tròn. At là tiếp  tuyến của đường tròn tại A. Đường thẳng song song với At cắt Ab tại M và cắt AC tại N.

Chứng minh AB. AM = AC . AN

Ta có ∠M = ∠BAt (so le trong)   (1)

∠BAt = ∠C (2) ( là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, chắn cung AB, ∠C là góc nội tiếp chắn cung AB)

Từ (1) và (2) suy ra:

∠M = ∠C    (3)

Xét hai tam giác AMN và ACB. chúng có:

∠A chung

∠M = ∠C

Vậy ∆AMN ~ ∆ACB, từ đó  AN/AB = AM/AC, suy ra AB. AM = AC . AN

Bài 34. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó. Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB

Chứng minh MT²  = MA. MB.

Xét hai tam giác BMT  và TMA, chúng có:

∠M chung

∠B = ∠T (cùng chắn cung nhỏ AT )

nên ∆BMT ~ ∆TMA, suy ra MT/MA = MB/MT

hay MT²  = MA. MB

Bài 35. Trên bờ biển có ngọn hải đăng cao 40m. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn đèn này biết rằng mắt người quan sát ở độ cao 10 m so với mực nước biển và kính Trái Đất gần bằng 6 400 km (h.30)?

Áp dụng kết quả bài tập 34 ta có:

MT² = MA. MB

MT² = MA.(MA + 2R)

Thay số vào đẳng thức trên và lấy đơn vị là km, ta có:

MT² = 0,04 (0,04 + 12.800)

MT ≈ 23 (km)

Cũng tương ta có;

MT² = 0,01(0,01 +12.800)

MT ≈ 11 (km)

Từ đó: MM’ = MT + M’T = 23+11= 34(km)

Vậy khi ngọn hải đăng khoảng 34 km thì người thủy thủ bắt đầu trông thấy ngọn hải đăng.